Isomorphismus beweisen

04.01.2007, 04:16	lissy	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus beweisen huhu! Ich sitz grad an einer Aufgabe, bei der ich irgendwie doch starke Probleme hab g Folgendes: Ich soll einen Grp.Homomorphismus konsturieren. Und damit soll ich beweisen, dass die additive Gruppe von $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ zur additiven Gruppe 2 $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ isomorph ist. Gut, also hab ich $\begin{eqnarray} (\mathbb Z, +) und (2\mathbb Z, +) \end{eqnarray}$ weiterhin: $\begin{eqnarray} \mathbb Z -> 2\mathbb Z \end{eqnarray}$ und f(x) = 2x Das ist ja jetzt schon mal mein Gruppenhomomorphismus. Beweis: $\begin{eqnarray} f(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f(a) + f(b), a,b\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit? isomorph, hmm. Das heißt doch, dass f bijektiv sein muss und die Umkehrfunktion auch ein Gruppenhomomorphismus sein muss? also die Umkehrfunktion ist: $\begin{eqnarray} f^{-1} = \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ ... Tja, wie weiter? Hier bleibe ich hängen. Wäre sehr lieb, wenn mir hier geholfen werden könnte
04.01.2007, 09:46	ArminTempsarian	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus beweisen Isom stimmt so. Die Bijektivität der Abbildung ergibt sich aus der Gleichmächtigkeit von Z und 2Z. Gruss Armin
04.01.2007, 17:27	lissy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus beweisen hm. ok - aber einfach nur so hinschreiben kann ich das ja nicht. dann muss ich nur noch zeigen, dass es bijektiv ist, und das wars? also unter zuhilfe der umkehrfunktion muss ja dann das hier gelten: für alle 2a aus 2Z gilt: $\begin{eqnarray} f(f^{-1}(2a)) = f(a) = 2a \end{eqnarray}$ und für alle a aus Z dann: $\begin{eqnarray} f^{-1}(f(2a)) = f^{-1}(2a) = a \end{eqnarray}$ richtig?
04.01.2007, 18:31	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
dadurch, dass du die Umkehrabbildung schon angegeben hast, ist klar, dass die Abbildung bijektiv ist. Denn wenn du eine Umkehrabb. angibst, dann existiert sie auch

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