Assoziativität von Kompositionen |
| 04.01.2007, 07:53 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Assoziativität von Kompositionen wie kann ich die Assoziativität von Kompositionen zeigen? Ich weiss dass die Komposition folgendermassen definiert ist: ("o" bedeutet "Kringel") (fog)(x):=f(g(x)) Um die Assoziativitä zu zeigen muss ich doch fogoh betrachten, aber wie setze ich das jetzt um? Kann ich einfach (fogoh)(x) schreiben, und das dann mit f(g(h(x))) gleich setzen? Grüsse... |
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| 04.01.2007, 08:13 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Assoziativität von Kompositionen f o (g o h)(x) = f(g o h)(x) = f(g(h(x))) = (f o g)(h(x)) = (f o g) o h (x) Gruss Armin |
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| 04.01.2007, 08:16 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Assoziativität von Kompositionen Danke für die Antwort, aber die Lösung habe ich auch, mir geht es darum, wieso man das so macht, bzw. wie die Antwort erst mal auf meine Frage lautet. Grüsse... |
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| 04.01.2007, 09:12 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Assoziativität von Kompositionen
Das ist natürlich das Gleiche, nützt dir aber noch nichts. Wesentlich zum Nachweis der Assoziativität ist doch die Klammersetzung, dh. du muss zeigen dass (a o b) o c = a o (b o c) |
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| 04.01.2007, 09:57 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Assoziativität von Kompositionen Ok, danke. Ich mach mir nochmal Gedanken und meld mich erst gegen später. Grüsse... |
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| 05.01.2007, 05:31 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Assoziativität von Kompositionen Jetzt hab ich doch nochmal zwei Fragen. Ist denn (fog) und (fog)(x) das selbe? Und wieso darf ich (fogoh)(x) gleichsetzen mit f(g(h(x)))? Grüsse... |
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| 05.01.2007, 06:40 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Assoziativität von Kompositionen Ja is das gleiche. is auch das gleiche wie f(x) o g(x) Die Komposition (f o g)(x) ist ja definiert als Hintereinanderausführung der Funktionen g und f (in dieser Reihenfolge), also f(g(x)). (Ich würd mir das nochmal ansehen. http://de.wikipedia.org/wiki/Komposition_%28Mathematik%29) Deshalb darfst du ((f o g) o h)(x) gleichsetzen mit (f o g)(h(x)), (wobei du (f o g) als eine Funktion betrachtet hast), und weiter f(g(h(x))), wobei du h(x) quasi als "Variable" betrachtest. Gruß Armin |
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| 05.01.2007, 06:43 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Assoziativität von Kompositionen Ok, ich schaus mir gerade nochmal genauer an und verstehe es langsam. Danke. Ich meld mich dann nochmal... |
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| 05.01.2007, 17:26 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, das erste steht für die Funktion, die durch die Komposition entsteht. Das zweite hingegen steht für den Funktionswert dieser Funktion an der Stelle . Gruß MSS |
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| 06.01.2007, 00:35 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Na ja, is wahrscheinlich eher unwichtig; aber wenn f eine Funktion von x ist, dann ist es wohl egal, ob ich f(x) oder f schreibe: Beides beschreibt die Funktion als Gesamtes. Das x meint ja üblicherweise eine Variable eines bestimmten Definitionsbereichs, keine "Stelle". Gruß Armin |
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| 06.01.2007, 03:17 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja. Es mag eine Variable beschreiben. Dann ist die Stelle eben variabel. Eine "variable Stelle" sozusagen. Aber es bleibt eine Stelle. Und zwischen einer Funktion an sich und dem Symbol , was auch immer dabei ist (ob eine feste oder variable Stelle), sollte man schon gründlich unterscheiden. Dabei geht es nicht darum, ob durch beides die Funktion eindeutig beschrieben wird. Es geht um die formale Unterscheidung. Gruß MSS |
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| 06.01.2007, 09:12 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich denke, deine Bedenken sind eher philosophischer als mathematischer Natur.
Von einer Funktion "an sich" zu sprechen, scheint mir etwas seltsam - nicht prinzipiell - aber dann, wenn das heißen soll, dass eine Funktion nichts damit zu tun, "von was" sie eine Funktion ist - was das Argument ist.
Formal wird es unterschieden, da hast du recht. Gruss Armin |
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| 06.01.2007, 11:48 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie du meinst - ist ja deine Meinung. Akzeptiere ich.
Wo habe ich denn behauptet, dass das Argument unbestimmt ist, dass also nicht klar ist, welche Argumente die Funktion hat? Gruß MSS |
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| 06.01.2007, 22:12 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Na ja, dir scheint es lieber zu sein - wenn es um eine Funktion "an sich" geht - von "f" anstatt von "f(x)" zu sprechen. Und ich meine, dass das egal ist. In meinen Augen ist es einfach eine Zusatzinformation - und eigentlich redundant - "f(x)" zu schreiben, wenn sowieso klar ist, dass f eine Funktion von x ist. Diese Terminologie: "f ist eine Funktion von x" legt ja irgendwie die Unterscheidung zwischen Funktion f (der Funktion an sich) und dem "von x" nahe. Meiner Meinung nach lässt sich das aber nicht trennen. Das meinte ich im übrigen damit, dass diese Frage eher philosophischer Natur ist. Gruß Armin |
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| 09.01.2007, 06:13 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo zusammen, So wie ich es richtig verstanden habe, kann man für fog auch f(x)og(x) schreiben, wenn man weiss, dass die Elemente der Menge mit x bezeichnet werden, sprich also die Variable x ist. Ich versuche jetzt mal den Beweis auf meine Art, mit dem wissen, dass ich für fog auch f(x)og(x) schreiben kann (was ich ja darf, weil ich die Elemente aus der Definitionsmenge mit x bezeichne). (fog)oh = (f(x)og(x))oh(x) = (f(g(x)))oh(x) = f(g(h(x))) = f(x)o(g(h(x))) = f(x)o(g(x)oh(x)) = fo(goh) Jetzt müsste es passen. Könnte ihr bitte schauen ob der Beweis so 100% korrekt ist. Danke und Grüsse... |
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| 09.01.2007, 10:15 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dass f(x) o g(x) das gleiche ist wie (f o g)(x) vergiss am besten wieder. Da (f o g)(x) = f(g(x)) ist f eine Funktion von g(x), was irgendein Wert sein kann, der nicht x ist. (Tschuldigung erstmal) Was den Beweis betrifft hast du die Klammern sozusagen in die falsche Richtung aufgelöst. (Das wird aber durch meine falsche Schreibweise suggeriert, das geb ich zu.) Richtig ist: ((f o g) o h)(x) =(f o g)(h(x)) =f(g(h(x))) Das heißt, was geklammert ist, wird zuletzt aufgelöst. Ebenso gilt: (f o (g o h))(x) =f(go h)(x) =f(g(h(x))) Wieder wird der Klammerausdruck zuletzt aufgelöst. Gruss Armin |
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| 29.01.2007, 09:34 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, eigentlich müsste man doch bei der Assoziativität (fog)oh=fo(goh) zeigen. Seh ich das richtig? Wieso zeigst Du aber (fog)oh(x)=fo(goh)(x) ? Ist das denn dasselbe, und wenn ja, wieso? Grüsse... |
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| 29.01.2007, 09:50 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
(fog)oh bzw. fo(goh) sind jeweils Funktionen. Diese sollen gleich sein. Man zeigt dies, indem man zeigt, daß für alle x die Funktionswerte gleich sind. 
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| 29.01.2007, 09:56 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hab es nochmal anderst versucht, so müsste es stimmen. fog ist doch so definiert, dass man zuerst g anwendet und anschliessend f. Assoziativität bedeutet hier (fog)oh=fo(goh). (fog)oh bedeutet, wende zuerst fog an, anschliessend h. Also (f(g(x)))oh nach Definition. Hier muss man jetzt zuerst h anwenden, dann f(g(x)). Das heisst f(g(h(x))). (fog)oh ist also äquivalent dazu, dass wir zuerst h anwenden, anschliessend g und zum Schluss f. Jetzt betrachte ich fo(goh). Nach Definition muss ich hier zuerst goh anwenden. Das bedeutet zuerst h anwenden, dann g. Also g(h(x)). Auf g(h(x)) muss man jetzt nach Definition noch f anwenden. Also f(g(h(x))). Es ist also (fog)oh=fo(goh), was zu zeigen war. --- Mehrfachpost zusammengefügt! Bitte die Editfunktion verwenden!--- Genau, es sind zwei Funktionen, das ist mir völlig klar. Aber wie kann ich das für alle x zeigen? --- Mehrfachpost zusammengefügt! --- So vielleicht? Für alle x gilt: (fog)oh =f(g(x))oh =f(g(h(x))) und fo(goh) =f(g(h(x))) Somit ist (fog)oh = fo(goh) Das ist sozusagen eine kurzschreibweise von dem was ich eins drüber geschrieben habe. --- Mehrfachpost zusammengefügt! --- zum Schluss muss es natürlich heissen: fo(goh) =fo(g(h(x))) =f(g(h(x))) |
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| 29.01.2007, 10:21 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig.
Falsch. Erst (weil siehe oben) h anwenden und darauf dann die Funktion (fog).
Das geht schon wegen der Definition der Verknüpfung nicht. |
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| 29.01.2007, 10:25 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke für die Antwort, ja klar, beim zweiten habe ich mich verschrieben, es ist mir klar. Eine letze Sache ist mir aber doch noch nicht ganz klar. f(g(x))oh = f(g(h(x))) Ich muss ja hier zuerst h anwenden, und anschliessend f(g(x)). Und somit packe ich einfach das h(x) mitten in die Klammer, da ich das zu allererst ausführen muss. Kannst Du dazu vielleicht noch was sagen. Ah ok, klar, da muss natürlich eine grosse Klammer hin beim 3ten Zitat. Es muss (f(g(x)))oh heissen. |
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| 29.01.2007, 10:35 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Im Prinzip meinst du das richtige, aber die Schreibweise ist unsauber. (fog) ist eine Funktion, die (laut Definition) x den Wert f(g(x)) zuordnet. ((fog)oh) ist eine Funktion, die demzufolge x den Wert (fog)(h(x)) zuordnet. Und wegen der Definition ist (fog)(h(x)) = f(g(h(x))). |
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| 29.01.2007, 10:36 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gelöscht .... da war klarsoweit schneller!
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| 29.01.2007, 10:41 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Halt Halt Halt, Dual Space, ich bin über jedes Wort dankbar. Kannst Du es bitte noch stehn lassen, ich war gerade dabei es zu lesen... |
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| 29.01.2007, 10:48 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo klarsoweit, ist es nicht dasselbe, wenn ich sage, ich muss zuerst h anwenden und dann f(g(x)) ? Du sagst, nach Definition. Das ist doch genau dasselbe. Oder seh ich das was falsch? Danke, dass (fog)oh dasselbe ist wie (fog)(h(x)) habe ich jetzt völlig verstanden. |
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| 29.01.2007, 10:53 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du kannst f(g(x)) nicht anwenden, weil - wie DualSpace schon erklärte - f(g(x)) keine Funktion ist, sondern ein Funktionswert. Man kann aber nur Funktionen auf irgendwelche Argumente anwenden. EDIT: Dewegen bedeutet (fog): wende (fog) auf in Klammern dahinter stehende Argumente (...) an, indem man f(g(...)) berechnet. |
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| 29.01.2007, 10:53 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sorry... ich versuch es mal zu rekonstruieren! Also:
Also der rote Ausdruck so nicht immer definiert! Da in dem ganzen Thread noch nie drüber gesprochen wurde, was f,g und h eigentlich für Funktionen sind, betrachten wir einfach den allgemeinsten Fall, nämlich Das heißt ist wieder eine Funktion und zwar und analog . So nun ist der Term nicht definiert, denn - also ein Wert und keine Funktion - und die Operation (Nacheinanderausführung) muss zwischen zwei Funktionen stehen! |
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