Dirac-Verteilung

24.10.2011, 19:43

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Dirac-Verteilung

Meine Frage:
Hallo, was hat man sich unter der Verteilungsfunktion des Wahrscheinlichkeitsmaßes

$\begin{eqnarray*} P=\frac{1}{3}\delta_{-1/2}+\frac{2}{3}\mathcal{U}_{]0,1/2[} \end{eqnarray*}$ vorzustellen?

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} F_P:c\to P(]-\infty,c]), c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

Aber wie sieht der Graph davon aus und was bedeutet insbesondere

$\begin{eqnarray*} \delta_{-1/2} \end{eqnarray*}$ ?

Edit 1:

Bedeutet das:

$\begin{eqnarray*} \delta_{-1/2}(c)=1, c=-1/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \delta_{-1/2}(c)=0 \text{sonst} \end{eqnarray*}$ ?

Edit 2, 3 & 4:

Sieht der Graph von $\begin{eqnarray*} F:=F_P \end{eqnarray*}$ dann so aus:

$\begin{eqnarray*} F(c)=0, -\infty<c<-1/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(c)=1/3, -1/2\leq c\leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(c)=\frac{c}{0,5}, 0\leq c\leq 0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(c)=1, c>0,5 \end{eqnarray*}$

?

24.10.2011, 20:12

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dirac-Verteilung
Der Verteilungsfunktion möchte ich meinen Segen geben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber hier eine Anmerkung:

Zitat:

Original von Dennis2010
Edit 1:
$\begin{eqnarray*} \delta_{-1/2}(c)=1, c=-1/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \delta_{-1/2}(c)=0 \text{sonst} \end{eqnarray*}$ ?

Das Argument von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist eine Menge, bei dir steht dort eine Zahl drin. Wenn wir $\begin{eqnarray*} \delta_{-\frac{1}{2}}(c) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \delta_{-\frac{1}{2}}(\{c\}) \end{eqnarray*}$ interpretieren (durchaus üblich), dann stimmt das, was du schreibst.

Auf die Verteilungsfunktion des Dirac kommst du aber anders, nämlich genau mit Mengen. Denk an die Definition der VF.

24.10.2011, 20:19

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dirac-Verteilung
Dankesehr!

Wenn ich Deine Anmerkung korrekt verstehe, ist das also so:

Man schaut, ob der Wert, der bei dem Delta steht, in der Menge (die in den Klammern steht) enthalten ist, wenn ja, kommt 1 heraus, wenn nicht, so hat man 0.

Bei der Verteilungsfunktion "bleibt" der Wert ja nach dem Erreichen des Punktes immer bei dem gleichen Wert, da bei einer Verteilungsfunktion der Wert sozusagen erhalten bleibt, bis "etwas Neues" dazu kommt.

Deswegen ist bei der obigen Verteilungsfunktion im ganzen Intervall [-1/2,0] der Wert der Verteilungsfunktion 1/3.

Habe ich das richtig verstanden?

Und würde der Wert 1/3 theoretisch auch noch weiter erhalten bleiben, wenn nicht aufgrund der Definition des obigen Wahrscheinlichkeitsmaßes ab dem Punkt 0 die Gleichverteilung folgen würde? Sprich: Würde der Wert 1/3 ansonsten immer fortgeführt werden, wenn nicht definiert wäre, daß auf dem Intervall [0,0,5[ die Gleichverteilung (mit der Gewichtung 2/3) gelten soll?

24.10.2011, 20:29

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Antwort auf die Frage "Habe ich das richtig verstanden?" Ja.

Gut, dass du danach nachhakst! Deine VF ist falsch.

Sie ist bis 0 richtig. Danach (also rechts von der 0) ist es aber genau so, wie du schreibst! Das Dirac ist dort immer noch 1, zum Beispiel ist ja $\begin{eqnarray*} \delta_{-\frac{1}{2}}\left(\left(-\infty, \frac{1}{3}\right)\right) \end{eqnarray*}$ auch 1. Deswegen gehen die Informationen auch rechts von der 0 nicht verloren.

Die Verteilungsfunktion der Gleichverteilung stimmt, aber wo ist der Faktor davor auf einmal hin?

Der Ast $\begin{eqnarray*} \frac{c}{0,5} \end{eqnarray*}$ ist also falsch.

24.10.2011, 20:38

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Mal zur Kontrolle, ob ich Deine Korrekturen verstanden habe; ich habe mir den Graphen der Verteilungsfunktion jetzt mal aufgezeichnet und:

Wenn ich mir also den Wert x=0,25 auf der x-Achse schnappe dann muss der entsprechende Funktionswert bei

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot \frac{0,25}{0,5}=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ liegen?

24.10.2011, 20:40

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Schreibst du dann noch mal der Vollständigkeit die korrekte VF auf? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anzeige

24.10.2011, 20:49

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cel
Freude

Freude

Schreibst du dann noch mal der Vollständigkeit die korrekte VF auf? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber gerne!

$\begin{eqnarray*} F(c)=0, -\infty<c<-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(c)=\frac{1}{3}, -\frac{1}{2}\leq c\leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(c)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot \frac{c}{0,5}, 0<c<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(c)=1, c\geq\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es eigentlich korrekt sein!

Nochmal dankesehr für Deine Hilfe. Endlich habe ich das mit dem Dirac verstanden und auch, wie diese Kombinationen aus diskreten und stetigen Wahrscheinlichkeitsmaßen zu lesen sind.

24.10.2011, 21:01

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist es korrekt. Das sind übrigens beide stetige Verteilungen, du setzt in beide reelle Zahlen ein. Bzw. in die entsprechenden VF, in die Maße selbst packen wir Mengen, die aber auch reelle Zahlen beinhalten. Und alles überabzählbar.

Jedenfalls: Freude

Freude

(Auch ich konnte mein Wissen auffrischen, so hatten wir beide was davon.)

24.10.2011, 21:03

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Darf ich doch nochmal eine ähnliche Frage stellen?

Wenn ich jetzt mal nur das reine Wahrscheinlichkeitsmaß

$\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{1}{3}\delta_{-1/2}(A)+\frac{2}{3}\mathcal{U}_{]0,\frac{1}{2}[}(A), A\in\mathcal{B} \end{eqnarray*}$

auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,\mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ betrachte.

Was wäre dann zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} P(A), A=[0.25,0.5] \end{eqnarray*}$ ?

Würde man dann berechnen:

$\begin{eqnarray*} [0.25,0.5]=\underbrace{[0.25,0.5)}_{=:B}\cup \underbrace{[0.5,5]}_{=:C} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} P(A)=P(B)+P(C)=\frac{2}{3}\frac{0.25}{0.5}+P(C) \end{eqnarray*}$

Was wäre $\begin{eqnarray*} P(C) \end{eqnarray*}$ ?

24.10.2011, 21:34

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso zerlegst du das Intervall?

Für eine Gleichverteilung $\begin{eqnarray*} \mathcal{U} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [c,d] \subset [a,b] \end{eqnarray*}$ gilt doch $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}([c,d]) = \frac{d-c}{b-a} \end{eqnarray*}$ .

Du kannst dein Intervall einfach in beide Maße einsetzen.

24.10.2011, 21:37

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber es ist doch nur auf $\begin{eqnarray*} ]0,0.5[ \end{eqnarray*}$ eine Gleichverteilung?

Und $\begin{eqnarray*} [0.25, 5]\subseteq ]0,0.5[ \end{eqnarray*}$ stimmt ja nicht.

24.10.2011, 21:45

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dennis2010
Was wäre dann zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} P(A), A=[0.25,0.5] \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} [0.25, 0.5] \not \subset ]0, 0.5[ \end{eqnarray*}$ . Dennoch darfst du A in die Gleichverteilung einsetzen, denn es kommt lediglich ein einzelner Punkt hinzu, also eine Nullmenge.

24.10.2011, 21:48

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Das war jetzt ein Missverständnis, sorry.

Ich meinte $\begin{eqnarray*} A=[0.25, 5] \end{eqnarray*}$ .

Daher dachte ich, daß man so ein Intervall zerlegt in das Intervall, auf dem noch die Gleichverteilung gilt und den Rest.

Das ist eine Frage allgemeinerer Natur, wie macht man das bei einer Gleichverteilung, wenn das Ereignis wie hier gar nicht in dem Intervall liegt, auf dem die Gleichverteilung liegt?

24.10.2011, 21:52

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann nimmst du nur den Teil des Intervalls, der den Gleichverteilungsbereich trifft.

In dem Fall ist also $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}([0.25, 5]) = \mathcal{U}([0.25, 0,5[) \end{eqnarray*}$ .

24.10.2011, 21:53

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Letzte Frage: Wieso? Big Laugh

Big Laugh

24.10.2011, 22:00

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, wie wahrscheinlich ist es, ein Intervall zu treffen, das überhaupt nicht in dem Intervall liegt, auf dem die Gleichverteilungdefiniert ist? Unmöglich.

De facto kannst du das Intervall dann doch zerlegen als $\begin{eqnarray*} [0.25, 5] = [0.25, 0.5[ \cup [0.5, 5] \end{eqnarray*}$ .

24.10.2011, 22:06

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Thank you!!

24.10.2011, 22:21

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

You're welcome! Big Laugh

Big Laugh

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »