Sigma Algebra

Neue Frage »

MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »
Sigma Algebra
Meine Frage:
Ist die folgende Menge eine Algebra oder Sigma Algebra ?
Beweisen Sie ihre Aussage.



Meine Ideen:
Also ich gehe davon aus, dass es eine Sigma Algebra ist. Das die leere Menge enthalten ist, ist klar. Dass das Komplement einer Menge auch in Omega ist habe ich gezeigt.

Ich hänge nun bei der Vereinigung zweier Mengen. Mein Ansatz:



Nun würde ich eine Fallunterscheidung machen.
1. Fall : falls A und B abzählbar ist die Vereinigung auch abzählbar. klar !
2.Fall : falls A abzählbar und abzählbar gilt ???
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Für eine -Algebra brauchst Du abgeschlossenheit unter abzählbar unendlichen Vereinigungen, Du hast aber eben nur endliche betrachtet.

Als ersten Schritt überleg' Dir mal, was im Falle einer ko-abzählbaren Familie passiert. Das heißt, betrachte , wobei stets abzählbar ist. Wie kannst Du die Vereinigung nun schreiben?
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich hatte gedacht ich muss zuerst die Vereinigung zweier Mengen zeigen und dann die unendliche Vereinigung. Natürlich genügt das letztere. verwirrt

Also :



Aber muss ich nicht eine Fallunterscheidung machen ?

Wenn ich es so schreibe betrachte ich ja nun nur abzählbare Mengen deren Schnitt, denke ich, auch abzählbar ist und somit in der Sigma Algebra.

Aber was ist wenn ich Mengen betrachte, wo A abzählbar und B komplement abzählbar usw.. Diesen Fall müsste ich doch auch noch gesondert betrachten oder ?

Danke für deine Hilfe
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMathosi

[...]
Wenn ich es so schreibe betrachte ich ja nun nur abzählbare Mengen deren Schnitt, denke ich, auch abzählbar ist und somit in der Sigma Algebra.

Ja, bis auf die unterschlagenen Indizes sieht das schonmal gut aus. Zumindest ist abzählbar. Schließlich ist dieser Schnitt auf jeden Fall in jedem enthalten! Vielleicht sagst Du jetzt nochmal ganz genau, warum auch gilt.

Anhand dessen überlegen wir uns dann, wie man den allgemeinen Fall von Vereinigungen behandelt.
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh vergessen...

Also es gilt ja :



Da jedes abzählbar ist, ist auch der Schnitt abzählbar.

Jetzt stehe ich auf dem Schlauch wieter würde ich sagen



verwirrt

Achso d.h. jetzt da das Komplement der unendlichen Vereinigung abzählbar ist, ist die unendliche Vereinigung in der Sigma Algebra oder ?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMathosi
Achso d.h. jetzt da das Komplement der unendlichen Vereinigung abzählbar ist, ist die unendliche Vereinigung in der Sigma Algebra oder ?

Ganz genau. Augenzwinkern Kann nun etwas daran kaputtgehen, wenn Du abzählbar viele abzählbare Mengen dazu vereinigst?
 
 
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein !

Aber warum müssen es abzählbar viele Mengen sein ? Das sind sie doch sowieso oder ?

Also heisst das wenn ich nun Mengen betrachte wo sowohl die Mengen an sich abzählbar sind oder deren Komplemente, kann ich diese so wie wir es eben gemacht haben zusammenflicken ? Sprich :


Sei


Sei O.b.d.A. abzählbar für n=1,...,k und ansonsten abzählbar dann gilt



Finde ich irgendwie verwirrend
verwirrt
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Mach Dir vor dem formalistischen Aufschrieb vielleicht erstmal gedanklich klar, was genau die Situation ist. Wir haben eine ko-abzählbare Menge (in unserem Fall die abzählbare Vereinigung ko-abzählbarer ). Zum allgemeinen Fall müssen wir uns eine abzählbare Familie abzählbarer Mengen vorstellen, die wir dazu vereinigen. Es kann aber höchstens eine abzählbar unendliche Menge hinzukommen, das dabei entstehende Komplement bleibt noch abzählbar und daher ändert das nichts an der Ko-Abzählbarkeit.

Edit: Formulierung hinzugefügt.
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Also irgendwie kapier ich das gerade nicht verwirrt

Was heisst denn ko-abzählbar überhaupt ?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Als ersten Schritt überleg' Dir mal, was im Falle einer ko-abzählbaren Familie passiert. Das heißt, betrachte , wobei stets abzählbar ist.

Tut mir Leid, wenn ich die Definition eingangs nicht gut genug hervorgehoben hatte.

An welchen Stellen aus meiner letzten Erklärung hängst Du sonst noch?
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Also diesen ersten Schritt hatten wir doch schon gehabt oder nicht ?

Ich sollte mir ja dann überlegen, ob

Zitat:
Ganz genau. Augenzwinkern Kann nun etwas daran kaputtgehen, wenn Du abzählbar viele abzählbare Mengen dazu vereinigst?

Ich denke mal nicht !
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, richtig. Die Begründung habe ich im Prinzip schon geliefert.
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut smile . Und wie schreibe ich das nun formal auf ?

Oder was ist an meinem obigen Aufschrieb falsch ?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde das nicht wesentlich formaler aufschreiben als in meinem Vorschlag.
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok !

Sei eine Menge wobei stets abzählbar ist.

Es gilt :



Da der Schnitt unendlich abzählbarer Mengen wieder abzählbar ist, ist das Komplement der Vereinigung der abzählbar, und damit die Menge in der Sigma Algebra.

Ist das nun so ok ?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig, um zu zeigen, dass die abzählbare Vereinigung von Mengen mit abzählbarem Komplement wieder abzählbar ist. Dazu müsstest Du eben noch begründen, dass es nichts ausmacht, wenn man dies noch abzählbar viele abzählbare Mengen dazu vereinigt.
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ok. Ja dann vielen Dank für deine Hilfe smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »