Getreidesilo, Preis bestimmt durch Oberfläche

24.10.2011, 20:26

JonnyMaddox

Getreidesilo, Preis bestimmt durch Oberfläche

Hallo,
Ich mal wieder^^

Also diesmal geht es um ein Getreidesilo dessen Preis von der Oberfläche abhängt(normaler Zylinder).
Ich soll den günstigsten Preis mit dem besten verhältnis von Durchmesser zu Höhe berechnen. Als Hinweis steht dort: Ableiten um das Minimum zu finden.

Das wars auch schon, wieder nix angegeben -.-

Also mein Ansatz ist der hier:

Hauptbedingung: O = Min (weil der Preis ja von der Oberfläche abhängt, und der Preis soll am niedrigsten sein)

Und die Formel für Oberfläche von einem Zylinder:
O = 2*pi * r^2 +2*pi *r*h

Darum denk ich mal das die Nebenbedingung ist:
bestes Verhältnis von r zu h (?)

So jetzt hab ich aber keine Ahnung mehr, was soll den konkret die Nebenbedingung sein? Welche Gleichung? Oder soll ich einfach die Ableitung von der Formel für den Zylinder machen um das minima rauszubekommen? Oder ist das totaler Schwachsinn.
Auch find ich wieder komisch das überhaupt nix angegeben ist -.-

Gruß

24.10.2011, 21:16

opi

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Zitat:

Darum denk ich mal das die Nebenbedingung ist:
bestes Verhältnis von r zu h (?)

Nein, das ist die Fragestellung.
Das zu optimierende Silo soll ja ein gewisses Volumen umhüllen, daraus kannst Du die Nebenbedingung basteln.

Da keine Volumengröße angegeben ist, kannst Du ganz allgemein $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ (oder besser $\begin{eqnarray*} \pi \cdot V \end{eqnarray*}$ ) nehmen.

24.10.2011, 22:28

JonnyMaddox

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Zitat:

Original von opi

Zitat:

Darum denk ich mal das die Nebenbedingung ist:
bestes Verhältnis von r zu h (?)

Wieso sollte ich lieber pi*V nehmen?

Also ich habs jetzt so gemacht:

Hauptfunktion:

$\begin{eqnarray*} O_{(r,h)} = 2\pi r^{2}+ 2\pi rh \end{eqnarray*}$

Nebenfunktion:

$\begin{eqnarray*} V = \pi r^{2}h \end{eqnarray*}$

Nach $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ umgeformt:

$\begin{eqnarray*} h = \frac{V}{\pi r^{2} } \end{eqnarray*}$

Zielfunktion:

$\begin{eqnarray*} O = 2\pi r^{2}+2\pi r\frac{V}{\pi r^{2} } \end{eqnarray*}$

Gekürzt:

$\begin{eqnarray*} O = 2\pi r^{2}+ \frac{2V}{r} \end{eqnarray*}$

Kurze Umformung:

$\begin{eqnarray*} O_{(r,V)} = 2\pi r^{2}+ 2Vr^{-1} \end{eqnarray*}$

Ok, hätte ich mir denken können das das dabei raus kommt.

Was aber jetzt? Die erste Ableitung und dann das minimum bestimmen? Und dann??
Gruß

24.10.2011, 22:40

JonnyMaddox

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Ich hab grade gelesen das das optimale Verhältnis zwischen Volumen und Oberfläche für einen mathematischen Zylinder bei H = D liegt. Kann ich damit etwas anfangen??
Gruß

24.10.2011, 22:43

opi

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Jap, Ableitung bestimmen und Null setzen. Danach kannst Du für V wieder $\begin{eqnarray*} \pi r^2 \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Zitat:

Wieso sollte ich lieber pi*V nehmen?

Man könnte sich damit - verbunden mit einer weiteren Überlegung - einige Zweien und das pi ersparen. Ist aber nicht wichtig, ich habe da leider im Vereinfachungswahn etwas übertrieben.

Edit:

Zitat:

Ich hab grade gelesen das das optimale Verhältnis zwischen Volumen und Oberfläche für einen mathematischen Zylinder bei H = D liegt. Kann ich damit etwas anfangen??
Gruß

Wenn es dann auch dem Ergebnis Deiner Optimierungsaufgabe entspricht, wird die Aussage eventuell stimmen. Augenzwinkern

24.10.2011, 22:45

JonnyMaddox

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Zitat:

Original von opi
Jap, Ableitung bestimmen und Null setzen. Danach kannst Du für V wieder $\begin{eqnarray*} \pi r^2 \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Zitat:

Wieso sollte ich lieber pi*V nehmen?

Man könnte sich damit - verbunden mit einer weiteren Überlegung - einige Zweien und das pi ersparen. Ist aber nicht wichtig, ich habe da leider im Vereinfachungswahn etwas übertrieben.

JAAAAAAAAAA geil Big Laugh

danke, hat mir super geholfen !! Freude

Liebe Grüße !
Wink

24.10.2011, 22:56

opi

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Gerne wieder, Du brauchst arbeitest ja auch immer gut mit. Wink

27.10.2011, 19:12

JonnyMaddox

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Ok also die Ableitung von dieser Gleichung zu machen war mir jetzt doch etwas neu wie ich bemerkt hab. In der Schule gab es nur Differentialgleichungen mit einer Variable.
Ich hab jetzt die Bücher durchforstet und rausbekommen das das auch gar nicht so schwer ist^^ :

Also jetzt ähm:

Partielle Ableitung von :

$\begin{eqnarray*} O_{(r,V)} \equiv 2\pi r^{2}+2Vr^{-1} \end{eqnarray*}$

Ist dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial O}{\partial r} = 4\pi +2r^{-1} \end{eqnarray*}$

und:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial O}{\partial V} = 2\pi r^{2}+r^{-1} \end{eqnarray*}$

Aber wo soll ich jetzt nun wieder V einsetzen? Da V ist ja jetzt bei beiden Gleichungen weggefallen.
?!

Gruß

27.10.2011, 21:24

JonnyMaddox

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sry, fehler bei der ableitung nach r da steht natürlich 4pi*r

Gruß

27.10.2011, 23:19

opi

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In der Oberflächenfunktion haben wir nur r als Funktionsvariable, V ist zwar beliebig, jedoch konstant.

$\begin{eqnarray*} O_{V}(r) = 2\pi r^{2}+ 2Vr^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} O_{(r,V)} \end{eqnarray*}$ aus einem Deiner früheren Beiträge hatte ich anscheinend übersehen oder wurde von Dir editiert. smile

Auch wenn partielle Ableitungen nicht benötigt werden:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial O}{\partial r} = 4\pi r -2Vr^{-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial O}{\partial V} = 2r^{-1} \end{eqnarray*}$

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