Binominialverteilung - Urnenaufgabe

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Floyd Auf diesen Beitrag antworten »
Binominialverteilung - Urnenaufgabe
Hallo liebe Mathefreunde, Ich habe mit folgender Aufgabe ein Problem:

In einer Urne befinden sich 6 Kugeln mit den Nummern 1, 2, 2, 2, 3, 3.

a) Zuerst werden 10 Kugeln zufällig der Reihe nach entnommen und sofort
wieder zurückgelegt. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

A: Man erhält genau zweimal die Kugel 1.
B: Es werden 3 Zweier, 5 Dreier und zwei Einser gezogen.
C: Man erhält höchstens 7 Zweier.
D: Die ersten drei Kugeln tragen verschiedene Zahlen, dann folgen nur noch Zweier.
E: Es werden genau 4 Kugeln mit der Zahl 2 gezogen, und diese erhält man auch
noch nacheinander.

b) Wie große ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei Entnehmen mit Zurücklegen von 4
Kugeln die Summe 6 erhält?

c) Heidi entnimmt zwei Kugeln mit einem Griff. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergeben die
Zahlen die Summe 4?

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man beim Entnehmen von 20-mal zwei Kugeln mit
einem Griff genau viermal die Summe 4?
Mit wie viel „Treffern“ (= Augensumme 4) kann man mit 20 Entnahmen rechnen?


Meine Lösungen:

Zu a)























Bei P(D) bin ich mir nicht so sicher............. ich verstehe nicht wie ich die Bedingung "die ERSTEN drei Kugeln tragen verschiedene Farben umsetzen soll" .... bei P(E) ist es ja genau dasselbe, " "NACHEINANDER" ... diese Bedingung fällt mir schwer in der Formel unterzubringen...
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind aber viele Aufgaben auf einmal! geschockt

A ist richtig, C ungenau gerundet. Wenn Du ein Ergebnis auf vier Nachkommastellen angeben möchtest, benötigen die Zwischenergebnisse ebenfalls vier NKS.

Zu B) Berechne zuerst die WSK für
Zitat:
3 Zweier, 5 Dreier und zwei Einser
in genau dieser Reihenfolge und überlege danach, auf wie viele Möglichkeiten man die Ziehungsergebnisse anordnen kann.
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

Also, die Wahrscheinlichkeiten habe ich doch siehe oben P(B1)= 0,12 / P(B1)= 0,13 / P(B3)= 0,29 bereits berechnet


Ich kann die 3 Zweier / 5 Dreier und 2 EInser genau auf

10! / (3! * 5! *2!) = 2520 anordnen

Wie hilft mir dieses Ergbnis, sofern es richtig ist, weiter?
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Lösungsweg für B ist falsch, Du kannst ihn überprüfen, indem Du die WSK für vier Zweier, vier Dreier und zwei Einser berechnest. Dann bleibt außer diesen beiden Möglichkeiten ja kaum noch etwas übrig. Augenzwinkern
Bei B3 z.B kann bei der Lösungsidee "zwei Einser und acht Nichteinser" die komplette Vorgabe schon enthalten sein. Und noch viele mehr dazu.

Lies noch einmal den Vorschlag aus meinem ersten Beitrag, diese WSK wird dann mit den 2520 Möglichkeiten multipliziert.
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Idee wäre zu P(B), dass ich die Teilergebnisse nicht miteinander addiere, sondern multipliziere. Ist das korrekt?


0,12 * 0,13 * 0,29 = 0,004524

Und dieses Ergebnis nochmal mit 2500 multipliziert

Ich weiß nicht wie ich die Benominialformel für alle drei Ergebnisse auf einmal anwenden soll... ein Binominialversuch wird doch in Erfolg und Misserfolg unterteilt.
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
0,12 * 0,13 * 0,29 = 0,004524

Und dieses Ergebnis nochmal mit 2500 multipliziert

Dann bekommst Du eine Wahrscheinlichkeit von über elf, das kann nicht sein.

Hast Du Dir meinen Vorschlag angeschaut? Kannst Du die WSK für das Ergebnis "2223333311" berechnen?

Edit:
Zitat:
... ein Binominialversuch wird doch in Erfolg und Misserfolg unterteilt.

Deswegen kannst Du die Formel der Binomialverteilung bei dieser Aufgabe auch nicht anwenden.
 
 
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich sollten die Aufgaben alle mit der Formel für die Binominialverteilung berechnet werden können, wenn das nicht geht, kein Wunder, dass ich mir hier einen abbreche....

Nun, dann muss ich wohl nochmal von Neuem überlegen....

DIe WSK für P=( "2223333311") = (3/6)^3 * (2/6)^5 * (1/6)^2 = 0,000014

0,000014 * 2500 = 0,035

Wenn diese Ergebnis nicht richtig ist, dann bin ich mit meinem Latein leider am Ende...
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Ohne Runden der Zwischenergebnisse:



Auch die Aufgaben D und E lassen sich nicht direkt mit einer Formel, sondern nur durch Überlegungen lösen.
D: Du benötigst zunächst die WSK für drei verschiedene Kugeln in drei Zügen.

E: Eine Möglichkeit wäre z.B. xx2222xxxx
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Opi, das war ja eine schwere Geburt. Aber ich wäre viel eher drauf gekommen, wenn der Arbeitszettel nicht ursprünglich für die Formel mit der Binominialverteilung konzipiert wäre.

D und E überlge ich mir heute abend noch :-)
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

So nun Teilaufgabe D und E:

Bei D habe ich erstmal die Wahrscheinlichkeiten aufgeschrieben für die Kombination "123" diese kann man auf 6 verschiedene Weisen vertauschen, deshlab mal 6 und dann kommen die 7 Zweier.

opi Auf diesen Beitrag antworten »

Rechnung und Begründung stimmen.

Zitat:
Aber ich wäre viel eher drauf gekommen, wenn der Arbeitszettel nicht ursprünglich für die Formel mit der Binominialverteilung konzipiert wäre.

Die Formel wurde ja bei zwei Aufgaben schon benutzt und wird bei den weiteren Aufgaben noch genau einmal hilfreich sein. Augenzwinkern
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe E: So, diese Aufgabe hat mir auch Kopfschmerzen bereitet. Bin mir nicht sicher, ob ich sie richtig gelöst habe.

(3/6)^4 bedeutet, dass ich 4 Zweier als erstes aus der Urne entnehme. DIese multipliziere ich mit 7, da es doch nur 7 Kombinationen gibt wie die 4 Zweier genau in der 10ner Reihe nacheinander angeordnet sein können

(1) 2222xxxxxx
(2) x2222xxxxx
(3) xx2222xxxx
(4) xxx2222xxx
(5) xxxx2222xx
(6) xxxxx2222x
(7) xxxxxx2222


Zuletzt multipliziere ich den Term der WSK für die restlichen Zahlen

opi Auf diesen Beitrag antworten »

Im Rechenweg ist ein kleiner Fehler, auch hast Du Dich anscheinend vertippt.
So sollte es aussehen:



Dein Gedankengang war aber völlig richtig. smile
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

Ja danke, das war nur ein Tippfehler. Wow, also richtig gedacht, bin doch nicht so blöd :-))
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wow, also richtig gedacht, bin doch nicht so blöd

Bei Kombinatorik/ Wahrscheinlichkeit zweifele ich oft selbst an meinem Verstand. Big Laugh

Hast Du Dich auch schon mit den anderen Aufgaben beschäftigt?
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

Ja mit b)


Es gibt meiner Meinung nach nur die beiden Zahlenreihen und deren Variationen

"3111" und "2211"




c)
opi Auf diesen Beitrag antworten »

ist völlig richtig. Freude

c) leider nicht. Die Kugeln werden "mit einem Griff" gezogen, dies dürfen wir uns gern auch als zwei Züge nacheinander vorstellen. Im Klartext: Nach dem Greifen der ersten Kugel ist eine Kugel weniger in der Urne vorhanden.
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

Also bedeutet mit einem Griff "ohne zurücklegen" ? Habe das Ergebnis angepasst...
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es bedeutet "ohne zurücklegen".

Aus Deiner editierten Rechnung werde ich aber nicht schlau... verwirrt
Es sind doch drei Zweien vorhanden, und warum sehe ich im zweiten Summanden drei Brüche?
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

So besser? :-)

opi Auf diesen Beitrag antworten »

Lehrer zu Beginn sind drei Zweien vorhanden!
Mein Vorschlag:

Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt, ein Konzentrationsfehler. Aufgabe d) bekomme ich jetzt nicht mehr hin.... kann nicht mehr denken vor Müdigkeit. Versuche mich nochmal morgen dran :-))) Aber vielen, vielen Dank für die hiflreichen Tipps ohne wäre es bei mir immenroch Zappenduster gewesen
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hat morgen dann sogar "die Formel" noch ihren großen Auftritt. Augenzwinkern
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die Aufgabe die ist ja in zwei Teilaufgaben geteilt. Hier wird ja in "Treffer" und "Nichttreffer" unterschieden und dann kann ich wieder die Formel benutzen

Die WSK habe ich doch schon unter Aufgabe c berchnet = 1/3

Wir wollen hier 4 Treffer haben, also:




Hm... bei der zweiten Teilaufgabe wird aber nicht nach einer WSK gefragt, sondern nach "wieviel" Trefern... also will man hier die Anzahl der Möglichkeiten wissen....hm...
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

"Mit wievielen Treffern (=Augensumme 4) kann man mit 20 Entnahmen rechnen?

Muss man bei der zweiten Teilaufgabe von d den Erwartungswert u = n * p ausrechnen?

u = 20 * 0,09 = 1,8
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste Teil stimmt, ich empfehle aber auch hier vier Nachkommastellen.

µ=n*p ist richtig, Du benutzt aber ein falsches p. Aufgabe noch einmal genau lesen!
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

µ=n*p is = 20 * 1/3 = 6,7


Also ungefähr 7 Treffer
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Nun sind wir fertig. Prost
Floyd Auf diesen Beitrag antworten »

Ja endlich, vielen Dank nochmal. Die Aufgabe war irgendwie schwieriger als andere, die ich bis dato lösen musste.
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