kompakte Menge in R^2

24.10.2011, 20:37	tombts	Auf diesen Beitrag antworten »
kompakte Menge in R^2 Meine Frage: Hallo, Mein Problem ist folgendes: für welche $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist die Menge $\begin{eqnarray} M_k=\left\{x\in M: -x_1+\alpha x_2 \leq k\right\} \end{eqnarray}$ nicht leer und kompakt, wobei $\begin{eqnarray} M=\left\{x \in \mathbb R^2 : x_1+x_2 \leq 0, x_2\geq 0 \right\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Eine Lösung hab ich schon gefunden, nämlich $\begin{eqnarray} \alpha =1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ , und komme dann unter Berücksichtigung von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ auf folgende Ungleichung aus der folgt, dass $\begin{eqnarray} M_k \end{eqnarray}$ beschränkt und abgeschlossen ist: $\begin{eqnarray} 0 \leq x_2 \leq x_1 \leq 1 \end{eqnarray}$ . Nur dann hab ich Probleme. Ich habs mit $\begin{eqnarray} \alpha =-1 \end{eqnarray}$ versucht und komme dann mit den Bedingungen von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ auf widersprüchliche Ungleichungen, also denk ich funktioniert das nicht. Dann hab ich $\begin{eqnarray} \alpha =0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ versucht und komme auf: $\begin{eqnarray} 0 \leq x_1+x_2 \leq 1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 0\leq x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0\leq x_2 \end{eqnarray}$ . Ist dann $\begin{eqnarray} M_k \end{eqnarray}$ beschränkt und abgeschlossen? Da bin ich mir nicht sicher, würde aber ja sagen.. Kann ich jetzt sagen, vorausgesetzt was ich gemacht habe stimmt, dass die Antwort auf die Frage ist: alle $\begin{eqnarray} \alpha \neq 0 \end{eqnarray}$ ?? Es würde mir wirklich helfen, wenn mir jemand sagen kann, ob ich das richtig gemacht habe, bzw. wenn nicht, einen Tipp geben könnte wie es richtig geht! Ich komme eigentlich aus der Physik, deshalb bin ich vlt in Mathe nicht ganz soo fit, dafür entschuldige mich schonmal Und bedanke mich an alle, die mir helfen möchten sehr herzlich!!
24.10.2011, 22:29	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, versuche mal die Ungleichungen $\begin{eqnarray} x_1 + x_2 \leq 0, -x_1 + \alpha x_2 \leq k, x_2 \geq 0 \end{eqnarray}$ durch addieren subtrahieren und so weiter zu entdrösseln. Am besten kommst du dann auf eine Form $\begin{eqnarray} a_j \leq x_j \leq b_j , \ \ j =1 ,2 \end{eqnarray}$ wobei die Konstanten sich noch ergeben. Wenn du das hast ist die Menge ja beschränkt und da abgeschlossen auf kompakt nach Heine-Borel. mfg
25.10.2011, 11:32	tombts	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für den Tipp, ich hab das jetz mal so versucht und bin auf folgende Ungleichungen gekommen: $\begin{eqnarray} -k \leq x_1 \leq -\frac{k}{\alpha +1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 \leq x_2 \leq \frac{k+x_1}{\alpha} \end{eqnarray}$ , das heißt alpha kann nicht 0 und nicht -1 sein. Für $\begin{eqnarray} \alpha < -1 \end{eqnarray}$ komm ich dann weiter auf $\begin{eqnarray} -k \leq x_1 \leq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 \leq x_2 \leq -x_1 \end{eqnarray}$ . Wenn das so stimmt, dann ist für $\begin{eqnarray} \alpha >0 , \alpha < -1 \end{eqnarray}$ die Menge kompakt. Liege ich da richtig?
25.10.2011, 12:27	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, daa du hier durch $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ bzw. [latex]\alpha + 1[latex] dividierst musst du fallunterscheidungen machen. Denn ist das Ding negativ, so ändern sich die Ungleichungen ... Addiere doch einfach mal die ersten beiden Ungleichungen. Genauso subtrahiere diese mal. Was kommt dann raus? mfg
25.10.2011, 20:14	tombts	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok für die beiden Ungleichungen muss $\begin{eqnarray} \alpha>0 \end{eqnarray}$ sein. Wenn ich die ersten beiden ungleichungen (ich denke du meinst $\begin{eqnarray} x_1+x_2 \leq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -x_1+\alpha x_2 \leq k \end{eqnarray}$ ) dann bekomme ich: $\begin{eqnarray} x_2+\alpha x_2 \leq k, -2x_1+\alpha x_2-x_2 \leq k \end{eqnarray}$ und weiter hab ich gedacht, dass man aus den beiden und der Transitivität auf $\begin{eqnarray} \alpha \leq \frac{x_1}{x_2} \end{eqnarray}$ kommen kann, aber $\begin{eqnarray} x_2\geq 0 \end{eqnarray}$ also kann ich nicht durch x2 dividieren. Bei der Form $\begin{eqnarray} a_j \leq x_j \leq b_j \end{eqnarray}$ sind a und b Konstanten, oder? Ich hab nämlich noch versucht mit den Ungleichungen oben auf so eine Form zu kommen, habs aber nicht geschafft. Diese Aufgabe treibt mich noch in den Wahnsinn. Könntest du mir vielleicht noch einen Tipp geben, wie ich da auf diese Form komme?? Vielen Dank schonmal, du hast mir echt schon weitergeholfen!

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