Exponentialgleichungen mit Substitution

24.10.2011, 19:25

Unperfekt

Exponentialgleichungen mit Substitution

Meine Frage:
Könnt ihr mir bei der Lösung von folgender Aufgabe helfen:

2^2x-12*2^x+32=0

Bitte mit Substitution und ohne Logarithmus :s

Ich bin am Verzweifeln!
Danke schonmal smile

Meine Ideen:
Lösung mit der Substitution

24.10.2011, 19:31

Equester

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Dann schlag doch mal eine Substitution vor Augenzwinkern

Um den Logarithmus wirst du aber nicht rumkommen. Der wird aber einfach^^

24.10.2011, 19:38

Unperfekt

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..
Ja aber wir haben das noch nicht in der Schule gemacht also muss es auch ohne gehen

Ich dachte jetzt so in der Art:

2^2x-12*2^x+32=0
(2x)^2-12*2^x+32=0
z^2-12*z+32=0

Weiter weiß ich nicht

24.10.2011, 19:41

Bjoern1982

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Zitat:

Um den Logarithmus wirst du aber nicht rumkommen.

Ein Exponentenvergleich bei der Rücksubstitution bei solch hübschen Zahlen tuts aber auch. Augenzwinkern

24.10.2011, 19:42

Unperfekt

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und das geht wie?

24.10.2011, 19:46

Unperfekt

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ich würde die zahlen jetzt in die mitternachtsformel einsetzen aber es geht nicht weil ich dafür 3 zahlen brauche aber es sind nur 2 vorhanden :s

24.10.2011, 19:49

Equester

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@Björn: Das ist mir grad ebenfalls eingefallen, aber danke Augenzwinkern

@Unperfekt: Warum hast du nur zwei Zahlen? Die Mitternachtsformel ist aber eine gute Idee Augenzwinkern

24.10.2011, 19:54

Unperfekt

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Zitat:

Original von Equester
@Björn: Das ist mir grad ebenfalls eingefallen, aber danke Augenzwinkern

@Unperfekt: Warum hast du nur zwei Zahlen? Die Mitternachtsformel ist aber eine gute Idee Augenzwinkern

Weil ich da so einsetzen würde:
2^2x-12*2^x+32=0
(2x)^2-12*2^x+32=0
z^2-12*z+32=0
.......a.......b
und dann hätt ich keine c :s

24.10.2011, 19:56

Equester

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Die Mitternachtsformel geht aber anders. Du kannst da nicht wahllos a und b bestimmen^^

Wenn du eine Funktion vorliegen hast, die diese Gestalt hat:
ax²+bx+c, dann ist die Mitternachtsformel anzuwenden wie du sie kennst Augenzwinkern

Wie lauten bei uns also die Koeffizienten?

24.10.2011, 19:59

Unperfekt

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Zitat:

Original von Equester
Die Mitternachtsformel geht aber anders. Du kannst da nicht wahllos a und b bestimmen^^

Wenn du eine Funktion vorliegen hast, die diese Gestalt hat:
ax²+bx+c, dann ist die Mitternachtsformel anzuwenden wie du sie kennst Augenzwinkern

Wie lauten bei uns also die Koeffizienten?

ehm ich weiß es nicht unglücklich

24.10.2011, 20:25

Equester

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Nun du hast doch die Form: ax²+bx+c. Oder in unserem Falle az²+bz+c.
Wie sehen die Koeffizienten aus, wenn du sie vergleichst? Augenzwinkern

24.10.2011, 20:28

Unperfekt

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Zitat:

Original von Equester
Nun du hast doch die Form: ax²+bx+c. Oder in unserem Falle az²+bz+c.
Wie sehen die Koeffizienten aus, wenn du sie vergleichst? Augenzwinkern

ehm vielleicht a = z^2 b=12z und c= 32

24.10.2011, 20:30

Equester

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Nah, Koeffizienten sind die Buchstaben/Zahlen die bei uns zur Variablen z gehören.
Also a=1, b=12 und c=32 Augenzwinkern

Das in die Mitternachtsformel die unbedingt wiederholt werden muss.
Das ist grundlegenste Mathematik!

24.10.2011, 20:32

Unperfekt

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Zitat:

Original von Equester
Nah, Koeffizienten sind die Buchstaben/Zahlen die bei uns zur Variablen z gehören.
Also a=1, b=12 und c=32 Augenzwinkern

Das in die Mitternachtsformel die unbedingt wiederholt werden muss.
Das ist grundlegenste Mathematik!

Dankeschöön, ich versuchs mal jetzt auszurechnen und dann muss ich noch die mitternachtsformel auswendig lernen :/

24.10.2011, 20:35

Equester

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Nicht nur diese selbst, sondern auch deren Anwendung! Augenzwinkern

Ja, melde dich dann, wenn du das Zwischenergebnis hast. Wir sind ja dann noch nicht fertig!

24.10.2011, 20:42

Unperfekt

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also z1=8 und z2=4 ?

24.10.2011, 20:57

Equester

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Yup, das ist korrekt.
Eine Idee wie es weiter geht? Augenzwinkern

24.10.2011, 20:59

Unperfekt

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vlt die 4 in 2^2 ?

24.10.2011, 21:02

Equester

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Ja, die Idee geht in die richtige Richtung.

Wir haben doch vorher gesagt (da substituiert).
2^x=u

Wir wissen: 2^x=4 und 2^x=8

Mit deiner Hilfe haben wir bei erstem Ausdruck stehen: 2^x=2^2 -> Was ist dann wohl $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

24.10.2011, 21:11

Unperfekt

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Zitat:

Original von Equester
Ja, die Idee geht in die richtige Richtung.

Wir haben doch vorher gesagt (da substituiert).
2^x=u

Wir wissen: 2^x=4 und 2^x=8

Mit deiner Hilfe haben wir bei erstem Ausdruck stehen: 2^x=2^2 -> Was ist dann wohl $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

ich verstehs grad nicht so ganz :/

24.10.2011, 21:14

Equester

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Wo hakts?

24.10.2011, 21:15

Unperfekt

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bei der frage was ist dann x1

24.10.2011, 21:19

Equester

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Wir hatten doch dies gegeben:

2^(2x)-12*2^x+32=0

Es gilt nun die Nullstellen zu bestimmen. Dafür haben wir erst substituiert und die
Zwischenergebnisse $\begin{eqnarray*} z_1=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2=8 \end{eqnarray*}$ gefunden. Die eigentliche Ergebnisse sind aber
$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ . Diese Stellen müssen noch durch resubstitution gefunden werden.
Du hast schon den Ansatz geliefert Augenzwinkern

Klar?

24.10.2011, 21:20

Unperfekt

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achso, ist dann z1 jetzt 2^2 also 2 und z2 1 ? smile

24.10.2011, 21:22

Unperfekt

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Zitat:

Original von Unperfekt
achso, ist dann z1 jetzt 2^2 also 2 und z2 1 ? smile

ich mein natürlich x

24.10.2011, 21:30

Equester

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Ersteres ist richtig.
$\begin{eqnarray*} x_1=2 \end{eqnarray*}$

Denn wir haben ja
$\begin{eqnarray*} 2^x=4 \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} 2^x=2^2 \end{eqnarray*}$ -> Daraus folgt wie man gleich sieht x=2

Wir haben aber außerdem
2^x=8 (erinnere dich an das andere Ergebnis!)

Wende den gleichen Trick wie oben an Augenzwinkern

24.10.2011, 21:37

Unperfekt

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Zitat:

Original von Equester
Ersteres ist richtig.
$\begin{eqnarray*} x_1=2 \end{eqnarray*}$

Denn wir haben ja
$\begin{eqnarray*} 2^x=4 \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} 2^x=2^2 \end{eqnarray*}$ -> Daraus folgt wie man gleich sieht x=2

Wir haben aber außerdem
2^x=8 (erinnere dich an das andere Ergebnis!)

Wende den gleichen Trick wie oben an Augenzwinkern

2^x=8 wäre dann 2^3 oder? also x=3

24.10.2011, 21:39

Equester

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Das ist richtig Freude