Induktionsbeweis einer Summenformel

25.10.2011, 00:05

chwa

Induktionsbeweis einer Summenformel

Nabend,

ich habe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$
Hier muss ich nun die Induktion anwenden. Normalerweise haben wir es in der Uni immer mit +(n+1) gemacht, was auch bei der Summe aus k^3 noch recht verständlich war, dass man +(n+1)^3 addiert, aber bei dem Bruch bin ich mir wirklich unsicher.
Ich habe nun einfach für das n auf der rechten Seite (n+1) eingesetzt, also:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{(n+1)+1} = 1 - \frac{1}{(n+2)} \end{eqnarray*}$
Das passt dann auch von den Zahlenwerten her. Aber es gibt doch sicherlich auch eine Methode, wie ich es einfach addieren kann? Gibt es eine allgemeingültige Möglichkeit herauszufinden, was genau man addieren muss? Also für Summe aus k^3 musste es ja auch (n+1)^3 sein...

Vielen Dank!

25.10.2011, 00:09

Gast11022013

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RE: Induktionsverstödnisfrage
Hallo, chwa!

Um ehrlich zu sein, verstehe ich nicht genau, worauf Du hinaus willst.

Jedenfalls mußt Du

Zitat:

Original von chwa

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

zeigen und zwar wie üblich, indem Du hier die Induktionsvoraussetzung benutzt.

[Daß Du den Induktionsanfang gemacht hast, nehme ich jetzt mal einfach an.]

25.10.2011, 00:21

chwa

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Hallo Dennis,

den Induktionsanfang habe ich soweit gemacht. Es geht mir darum zu verstehen, wie ich "n+1" umwandeln muss, damit es in eine Formel passt. z.B. ist es bei
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$
Hier kann ich nun nicht einfach +(n+1) hinschreiben, wie in

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/math/6/d/0/6d03fb24583911b3bd89f85a4e2468bb.png
Dazu muss ich (n+1) hoch 3 nehmen und kann es dann addieren. Ich verstehe aber noch nicht genau wieso?

Es gibt ja offenbar die Möglichkeit, bei der Induktion einfach n durch n+1 zu ersetzen und es gibt die Möglichkeit +(n+1) zu rechnen oder sehe ich das falsch?

Vielen Dank

25.10.2011, 00:27

Gast11022013

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Ah, okay. Jetzt verstehe ich, was Du meinst!

Das ist immer das gleiche Prinzip.

Du schreibst einfach die Summe bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hin und hängst dann noch einen Summanden mit $\begin{eqnarray*} k=n+1 \end{eqnarray*}$ , also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(n+1)((n+1)+1)} \end{eqnarray*}$

Und nun kannst Du auf die Summe die Induktionsvoraussetzug anwenden.

Da kannst Du ja mal weitermachen.

25.10.2011, 15:33

chwa

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Also ganz einfach gesagt: Ich setze (n+1) für k ein?

Vielen Dank! smile