Mengen

25.10.2011, 01:15

arcussinus

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Mengen

Meine Frage:
Hallo Mathematiker,

Ich kämpfe seit Stunden mit der einfachen Aufgabe die folgende Aussage zu beweisen oder zu widerlegen:

$\begin{eqnarray*} (A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap D)\times (B\cap C) \end{eqnarray*}$

Besten Dank schon mal im Voraus

Meine Ideen:
Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich nicht recht weiß, wie ich Zahlenpaare in Beziehungen wie "UND" bringen kann bzw. wie ich damit arbeite. Ich habe zunächst den Ausdruck defieniert und nach meiner Intuition müsste der Ausdruck falsch sein, denn a(element)A kann nicht gleichzeitig mit d(element)D auftreten (Rechte Seite der Gleichung), wenn a und c links gemeinsam auftreten müssen. Ich habe ganz einfach die ersten Komponenten in der KLammer betrachtet. Analog müsste es auf die zweite Komponente des Zahlenpaares zutreffen. STimmt das?

25.10.2011, 01:34

Pascal95

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EDIT:
Entschuldige, dies scheint wohl falsch zu sein.
Also ist das folgende kein gültiges Gegenbeispiel!

$\begin{eqnarray*} <br /> A &:=& \{ a \}<br /> B &:=& \{ b \}<br /> C &:=& \{ b,c \}<br /> D &:=& \{ a,d \}<br /> \end{eqnarray*}$

Schreibst du $\begin{eqnarray*} (A\times B)\cap (C\times D) \end{eqnarray*}$ und auch mal $\begin{eqnarray*} (A\cap D)\times (B\cap C) \end{eqnarray*}$ hin Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.10.2011, 01:40

Gast11022013

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Laut Wikipedia gilt diese Identität durchaus:

http://de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Produkt

Wie kommst Du auf ein Gegenbeispiel, Pascal95?

25.10.2011, 01:45

arcussinus

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Ok...jetzt weiß ich, dass diese Gleichung ihre Berechtigung hat und ich mit meiner Annahme daneben lag. Nur wie beweise ich dies?

25.10.2011, 01:46

arcussinus

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@Pascal95: Ich weiß nicht, auf was du hinaus möchtest.

25.10.2011, 01:49

arcussinus

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Obwohl...Bei genauerer Betrachtung trifft auf dieses Beispiel die vorgeschlagene Identität nicht zu.

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25.10.2011, 01:50

Gast11022013

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Du musst, wie immer, wenn Du die Identität zweier Mengen zeigen willst, zwei Mengeninklusionen zeigen!

Zeige zuerst mal

$\begin{eqnarray*} (A\cap D)\times (B\cap C)\subseteq (A\times B)\cap (C\times D) \end{eqnarray*}$ .

Ist gar nicht so schwer!

25.10.2011, 01:54

arcussinus

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mein problem ist, dass ich damit nicht vertraut bin mit kartesischen produkten bzw. die sogar gekoppelt mit mengen sind zu rechnen. unser prof schrieb nur drei zeilen an die tafel, was die kartesischen produkte anbelangte. für mich war das eine vollkommen neue welt. unglücklich

unglücklich

25.10.2011, 01:55

arcussinus

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ich bitte daher um laienumgang. ^^

25.10.2011, 01:55

arcussinus

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a propos....mengeninklusion ist mir auch noch ein fremdwort.

25.10.2011, 01:56

Gast11022013

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Ich revidiere meine Aussage.

Die Aussage, die ich meinte, setzt

$\begin{eqnarray*} (A\cap D)\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (D\times C) \end{eqnarray*}$ voraus.

Sorry, ich nehme alles zurück! Klo

Klo

PS. Pascal95 hat ein Gegenbeispiel geliefert; die Aussage stimmt nicht.

25.10.2011, 01:57

Pascal95

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Ich dachte wirklich, ich hätte ein Gegenbeispiel gefunden.
Entschuldige bitte, falls es für Verwirrung gesorgt hat.

Vielleicht sollte ich bald ins Bett gehen.

Kann mir jemand den Fehler sagen ?

Die Mengen $\begin{eqnarray*} A,B,C,D \end{eqnarray*}$ seien wie im vorherigen Post definiert, also so:
$\begin{eqnarray*} <br /> A &:=& \{ a \}<br /> B &:=& \{ b \}<br /> C &:=& \{ b,c \}<br /> D &:=& \{ a,d \}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A\times B)\cap (C\times D) = \{(a,b)\} \cap \{(b,a),(b,d),(c,a),(c,d)\}=\emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A\cap D)\times (B\cap C) = \{a\} \times \{b\}= \{(a,b)\} \end{eqnarray*}$

Eigentlich bin ich mir ziemlich sicher, dass das so stimmt (wohl doch aber nicht).

Vielen Dank.

25.10.2011, 01:59

Gast11022013

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Doch, doch, das stimmt!!
Das ist ein Gegenbeispiel!

Ich ging von einer Aussage aus, bei der ein Kartesisches Produkt andersherum stand und da das Kartesische Produkt ja nicht kommutativ ist, ist das einfach etwas Anderes.

Sorry!

25.10.2011, 02:00

arcussinus

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ok....un könnte mir jmd das gegenbeispiel erläutern. Bitte idiotensicher! Freude

Freude

25.10.2011, 02:02

arcussinus

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ich würde gerne wissen, wer wie warum was gemacht hat.
ist halt ne echt verzwickte geschichte. hätte noch eine andere aufgabe zu lösen, die ich allerdings absolut nicht verstehe, da mir das zeichen für mengensysteme ebenfalls bis vor kurzem unbekannt war.

25.10.2011, 02:02

Gast11022013

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Wieso erläutern?

Du nimmst die linke Gleichungsseite, setzt die Mengen ein.

Das Gleiche auf der rechten Seite.

Und da kommt nicht das Gleiche heraus, also stimmt die Aussage nicht.

Was genau verstehst Du denn daran nicht?

Edit: Pascal95 hat es außerdem schon erläutert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.10.2011, 02:10

arcussinus

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ich verstehe nicht, warum pascal im gegenbeispiel für

A eine Menge mit einem Element (a)
B eine Menge mit einem ELement (b)
C zwei Elemente (c,b)
D zwei Elemente (a,d)

benutzt hat.

Wenn ich einsetze, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} (a,b)\cap (c,d)=(a-und-d)\times (b-und-c) \end{eqnarray*}$

25.10.2011, 02:13

arcussinus

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Ja ich danke schon mal an dieser Stelle...aber mir geht immer noch kein Licht auf.

Entweder ich checks nicht, weil ich blöd bin

oder ich denk zu kompliziert.

Mir erschließt sich noch nicht die Logik.

Meine Fragen wären...warum hat Pascal die einzeknen Mengen so definiert und nicht anders?

25.10.2011, 02:13

Gast11022013

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Zitat:

Original von Pascal95
$\begin{eqnarray*} <br /> A &:=& \{ a \}<br /> B &:=& \{ b \}<br /> C &:=& \{ b,c \}<br /> D &:=& \{ a,d \}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A\times B)\cap (C\times D) = \{(a,b)\} \cap \{(b,a),(b,d),(c,a),(c,d)\}=\emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A\cap D)\times (B\cap C) = \{a\} \times \{b\}= \{(a,b)\} \end{eqnarray*}$

Hm, da steht eigentlich alles.

Ich frag' mich, wie man es noch besser erläutern soll. verwirrt

verwirrt

25.10.2011, 02:15

Gast11022013

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Zitat:

Original von arcussinus
Meine Fragen wären...warum hat Pascal die einzeknen Mengen so definiert und nicht anders?

Die Frage ist eigentlich überflüssig.

Er hat ein Beispiel für Mengen gefunden, bei denen die behauptete Identität nicht gilt.

Zu fragen, wieso sind die Mengen so, ist relativ redundant.

Es gibt sie, ein Gegenbeispiel ist zur Hand.

25.10.2011, 02:18

arcussinus

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Ich verstehe nur nicht warum b auch ein Element von C ist?
Analog dazu die FRage, warum a ein Element von D ist?

25.10.2011, 02:19

arcussinus

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Ja sorry, wenn deine Haare wegen mir zu Berge steigen. Big Laugh

Big Laugh

25.10.2011, 02:20

Gast11022013

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Sorry, wenn ich mich wiederhole.

Aber diese Fragen sind überflüssig!

Pascal95 hat diese Mengen eben so und nicht anders definiert, will kürlich festgelegt, kreativ bestimmt und festgelegt.

Und wie sich zeigt, sind sie (so, wie sie sind) geeignet, um zu zeigen, daß die Identität im Allgemeinen falsch ist.

Es gibt keine Antwort auf Deine Fragen, außer:

Weil es funktioniert.

25.10.2011, 02:21

arcussinus

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ah ok....habe ich das richtig verstanden:

wenn die bedingung $\begin{eqnarray*} C\cap D \end{eqnarray*}$ erfüllt sein sollte, dass ist logisherweise b ein Element von C. Aber müsste das nciht umgekehrt auch der Fall sein?

25.10.2011, 02:22

arcussinus

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OK....also klar....jetzt wirds schlüssig...

25.10.2011, 02:23

arcussinus

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Hast du noch genug Nerven und Muse mir bei der nächsten Aufgabe zu helfen?
Zu dieser finde ich noch weniger Anschluss als zur vorhergehenden.

25.10.2011, 02:26

Gast11022013

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Zitat:

Original von arcussinus
ah ok....habe ich das richtig verstanden:

wenn die bedingung $\begin{eqnarray*} C\cap D \end{eqnarray*}$ erfüllt sein sollte, dass ist logisherweise b ein Element von C. Aber müsste das nciht umgekehrt auch der Fall sein?

Das verstehe ich nicht.

Wenn man $\begin{eqnarray*} C\cap D \end{eqnarray*}$ betrachtet, so ist das die leere Menge.

Die Mengen C und D haben ja keine gemeinsamen Elemente.

Wieso soll also aus $\begin{eqnarray*} C\cap D \end{eqnarray*}$ in irgendeiner Weise folgen, daß $\begin{eqnarray*} b\in C \end{eqnarray*}$ ?

25.10.2011, 02:27

Gast11022013

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Zitat:

Original von arcussinus
Hast du noch genug Nerven und Muse mir bei der nächsten Aufgabe zu helfen?
Zu dieser finde ich noch weniger Anschluss als zur vorhergehenden.

Raushauen kannst Du sie ja mal. Big Laugh

Big Laugh

25.10.2011, 02:35

arcussinus

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ok...nur zum verständnis der letzten Aufgabe:
Ich hätte in der zweiten Gleichung jede Kombination wählen können und keine davon hätte die leere Menge ergeben. Richtig?

ok...nun zum Monster der Mengenlehre:

Zeige:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\bigcup_{B -element- V} B)=\bigcup_{B -element- V} f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$

25.10.2011, 02:36

Gast11022013

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Erste kurze Nachfrage: Was ist V? Ist das auch angegeben?

Und vor allem: Was ist f?? Eine Funktion, die definiert ist bei Dir?

25.10.2011, 02:39

arcussinus

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V ist ein System von Teilmengen von Y.

Info, die ich vergessen hatte anzufügen:
Es seien X,Y Mengen und: $\begin{eqnarray*} f: X\Rightarrow Y \end{eqnarray*}$

der Pfeil soll den Abbildungspfeil darstellen.

25.10.2011, 02:41

arcussinus

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Bitte alle Schritte mit Kommentar versehen. Schließlich möchte ich daraus lernen. Lehrer

Lehrer

25.10.2011, 02:48

Gast11022013

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Okay, also.

Was Du zeigen sollst, ist:

Das Urbild der Vereinigung der Mengen ist gleich der Vereinigung der Urbilder.

Wähle ein beliebiges Element aus der linken Menge, also

$\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}\left(\bigcup_{B_i\in V}B_i\right) \end{eqnarray*}$ .

Es existiert dann ein

$\begin{eqnarray*} y\in \bigcup_{B_i\in V}B_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet, es gibt ein $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , sdaß $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in dem dazugehörigen $\begin{eqnarray*} B_i \end{eqnarray*}$ liegt.

Jetzt macht man das Gleiche für die rechte Seite.

Danach müsste die Gleichheit bewiesen sein.

PS. Die Kommentare hole ich morgen nach, jetzt ist erstmal Schlafenszeit. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.10.2011, 02:56

Gast11022013

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Ich kann's auch gerne morgen nochmal etwas ausführlicher (und noch etwas matematischer) aufschreiben, aber das ist jedenfalls die Idee für die erste Mengeninklusionm also für

$\begin{eqnarray*} f^{-1}\left(\bigcup_{B_i\in V}B_i\right)\subseteq \bigcup_{B_i\in V}f^{-1}(B_i) \end{eqnarray*}$ .

25.10.2011, 02:59

arcussinus

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ich danke schon mal. Bin gespannt auf die morgige Ausführung!

Gibts etwas zusätzlich zu beachten, wenn ich auf der rechten Seite das Gleiche durchführe?

gute nacht

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