Rentenrechnung mit ansteigenden Raten

25.10.2011, 12:58

enmi

Rentenrechnung mit ansteigenden Raten

hallo,

habe wieder einmal ein problem bei der rentenrechnung.

folgende aufgabe ist gestellt:
jemand nimmt einen kredit über 25.000€ auf. die ersten 2 jahre sind tilgungsfrei, dann werden nachschüssige Quartalsraten, 1. Rate 350€ Raten erhöhen sich jeweils um 2%, und einmalig €5000,- nach 3 1/2 jahren (von beginn an gerechnet) geleistet, i=7,5%

wie hoch ist die letzte volle quartalsrate und wie hoch ist der rest ein quartal nach der letzten vollen quartalsrate?

die 25.000€ für 2 jahre aufzuzinsen ist ja kein problem:

$\begin{eqnarray*} 25000\cdot 1,075^{2} = 28890,625 \end{eqnarray*}$

aber wie gehe ich mit den ansteigenden raten um? eigentlich handelt es sich ja hier um eine geometrische reihe mit q=1,02 aber die zeitdauer (n) und die summe (Sn) sind unbekannt. man könnte ja auch die 28890,625 für n jahre aufzinsen aber n ist ja nicht bekannt?

danke für eure hinweise.

sg
enmi

25.10.2011, 19:35

Gast11022013

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Edit: Ich glaub das was ich erzählt hab war blödsinn.

Also nochmal!

Benutze diese Formel:

$\begin{eqnarray*} r*\frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

zur Tilgung.
Beziehe die 5000€ Tilgung nach 3,5 Jahren mit ein und halte dich an meinen unten skizzierten Zeitstrahl nun sollte es richtig sein ich hatte zu vor eine Falsche Formel angegeben.

r und q kannst du ja durch Zahlen ersetzen.

31.10.2011, 14:48

enmi

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hallo,

danke für die antwort.

denke aber, dass diese rechnung so nicht gelöst werden kann.

die 25.000,00 werden zunächst für 2 jahre aufgezinst. ergibt eine schuld von 28890,63
nun beginnen die rückzahlungen mit den ansteigenden raten

1. rate: 350,00
2. rate: 357,00
3. rate: 364,14
usw.

dies sind jedoch die werte die tatsächlich bezahlt werden. der wert der 3. raten (z.b.) ist ja am anfang (nach 2 jahren) kleiner als 364,14 bzw. am ende der gesamten laufzeit größer als 364,14

irgendwie fehlt mir der hinweis, wie mit diesen ansteigenden ratenzahlungen umgegangen werden muss. bisher hatten wir immer gleichbleibenden renten/raten.

danke für eure hilfe

sg
enmi

ps: habe mich mal umgeschaut und denke, dass es sich um "Nachschüssige geom. fortschreitende Rentenzahlung" handelt. es gibt hier zwar formeln (aus denen ich aber nicht wirklich schlau werde). mich würde interssieren, was sind meine ansteigenden ratenzahlungen wert (am anfang und am ende) - und wie gehe ich bei der aufgabe vor, wenn die laufzeit unbekannt ist?

01.11.2011, 19:16

mYthos

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Am günstigsten ist es, du fertigst eine Zeitlinie an und wählst den Zeitbezugspunkt am Ende des 2. Jahres und beziehst alle Beträge dorthin.
Die Kreditsumme ist dort dann $\begin{eqnarray*} 25000*1,075^2 \end{eqnarray*}$ , wie du es selbst schon geschrieben hast.

Wir setzen fest:
q1 = 1 + i/100 = 1,075 .. Jahresaufzinsungsfaktor
q .. Quartalsaufzinsungsfaktor --> $\begin{eqnarray*} q = \sqrt[4] {q_1} \end{eqnarray*}$
v1 = 1/q1 .. Jahresabzinsungsfaktor
v = 1/q .. Quartalsabzinsungsfaktor bzw. auch --> $\begin{eqnarray*} v = \sqrt[4] {v_1} \end{eqnarray*}$
r = 1.02

Weil alle zurückgezahlten Beträge in der Zukunft (rechts vom Zeitbezugspunkt) liegen, ist es übersichtlicher, mit dem Abzinsungsfaktor v zu rechnen, denn sonst hätte man beim Bezug (auf das Ende des 2. Jahres) Brüche mit den Potenzen von q.. im Nenner. Somit gilt, dass die mit 2 Jahren aufgezinste Kreditsumme gleich ist der entsprechend auf denselben Zeitpunkt bezogenen Einmalzahlung von 5000.- und den n Quartalsraten zu 350.-, die sich ihrerseits pro Quartal mit dem Faktor 1,02 (um 2%) erhöhen.

$\begin{eqnarray*} 25000 \cdot 1.075^2 = 5000v^6 + 350v + 350v^2 \cdot r + 350v^3 \cdot r^2 + \ldots + 350v^n \cdot r^{n-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss rechts die geometrische Reihe (n Glieder, beginnend mit 350v) summiert werden. Beachte, dass deren Quotient r.v ist.
Letztendlich kann die Gleichung auf eine Exponentialgleichung der Form $\begin{eqnarray*} a^n = b \end{eqnarray*}$ gebracht werden, welche logarithmisch zu lösen ist (n = 67.037165). Mit dem ganzzahligen Anteil der Lösung rechnest du nochmals den Saldo (die noch verbleibende Restschuld) am Ende des entsprechenden Quartals aus. Dessen Endwert nach einem weiteren Vierteljahr ist der noch zu begleichende Restbetrag (48.98). Bei Berechnung von Endwerten ist mit dem Aufzinsungsfaktor zu rechnen!

Edit: Fehler korrigiert.

mY+

02.11.2011, 14:15

enmi

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Hallo,

vielen Dank für deine ausführliche Antwort.

Deine Ausführungen sind soweit verständlich. ABER: weshalb 5000 mit v² multiplizieren? es sind ja eigentlich 6 Quartale oder nicht? und weshalb verwende ich hier den Quartalsabzinsungsfaktor und nicht (wie bei der Kreditsumme) den Jahresabzinsungsfaktor?

Zitat:

Jetzt muss rechts die geometrische Reihe (n Glieder, beginnend mit 350v) summiert werden. Beachte, dass deren Quotient r.v ist.

Das probiere ich jetzt mal und melde mich anschließend wieder.

Vielen Dank nochmals

sg
enmi

02.11.2011, 16:08

enmi

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ok!

hier sind meine berechnungen:

$\begin{eqnarray*} 25000\cdot 1,075^{2}= 5000\cdot v_{4}^{6}+350\cdot v_{4}+350\cdot v_{4}²\cdot r .... \end{eqnarray*}$

vgl. Formel von mYthos

es gilt:

$\begin{eqnarray*} v_{4} = \sqrt[4]{\frac{1}{1,075} }=0,9820823 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = 1,02 \end{eqnarray*}$

auf die obere Gleichung habe ich nun die Summenformel für geometrische Reihen angewendet:

$\begin{eqnarray*} 25000\cdot 1,075^{2}= 5000\cdot v_{4}^{6}+350\cdot v_{4}\cdot \frac{(v_{4}\cdot 1,02)^n-1}{v_{4}\cdot 1,02-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=2881,175... \end{eqnarray*}$

was so nicht stimmen kann unglücklich

und nach ein paar Umformungen erhalte ich

Zitat:

eine Exponentialgleichung der Form $\begin{eqnarray*} a^n = b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (v_{4}\cdot 1,02)^n = 143,1218184... \end{eqnarray*}$

Zitat:

welche logarithmisch zu lösen ist

$\begin{eqnarray*} n\cdot ln(v_{4}\cdot 1,02) =ln(143,1218184...) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=\frac{ln(143,1218184...)}{ln(v_{4}\cdot 1,02)} \end{eqnarray*}$

02.11.2011, 22:00

mYthos

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Aaahhrgh$%&#*!
Zu dumm, ich habe mit 2.5 Jahren anstatt mit 3.5 Jahren gerechnet!
Mit den 6 Quartalen hast du natürlich Recht, das ändert die Ergebnisse etwas.

Ich editiere dies zunächst mal in meinem vorigen Beitrag und dann suchen wir deinen Fehler.
Die von dir in der Exponentialgleichung errechneten 143,1218 stimmen jedenfalls nicht.

mY+

02.11.2011, 22:33

mYthos

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Zitat:

Original von enmi
...
$\begin{eqnarray*} 25000\cdot 1,075^{2}= 5000\cdot v_{4}^{6}+350\cdot v_{4}\cdot \frac{(v_{4}\cdot 1,02)^n-1}{v_{4}\cdot 1,02-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=2881,175... \end{eqnarray*}$
...

Hier hast du bestimmt falsch gerechnet. Wenn du das korrekt machst, kommt

$\begin{eqnarray*} 28890.63 = 4485.98 + 199384.88 \cdot (1.001724^n-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Danach solltest du so etwas wie

$\begin{eqnarray*} 1.001724^n=1.1224 \end{eqnarray*}$

bekommen, mit n in der Nähe von 67 als Lösung.

mY+

06.11.2011, 09:50

enmi

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hallo,

danke für deine antwort. muss mir das heute mal in ruhe anschauen. melde mich dann wieder.

vielen dank vorerst

sg
enmi

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