Äquivalenz endlicher Mengen

25.10.2011, 13:28	Mengenlerner	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz endlicher Mengen Meine Frage: M und N seien zwei endliche Mengen mit \|M\|=\|N\|, f:M->N eine Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: f ist bijektiv f ist injektiv f ist surjektiv Meine Ideen: Es gibt zwei endliche Mengen, die gleichmächtig sind und eine Abbildung, die die eine Menge auf der anderen abbildet. Leider hab ich gar keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll oder womit ich beim Beweis anfangen soll...weiß jemand weiter?
25.10.2011, 13:31	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz endlicher Mengen Naja, die erste Inklusion ist ja klar, oder? Eine bijektive Abbildung ist injektiv und surjektiv.
25.10.2011, 14:14	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versuche Dir mal ein paar Tipps zu geben. (1) f ist bijektiv (2) f ist injektiv (3) f ist surjektiv $\begin{eqnarray} (1)\Rightarrow (2) \end{eqnarray}$ ist klar, da eine bijektive Abbildung injektiv und surjektiv ist. $\begin{eqnarray} (2)\Rightarrow (3): \end{eqnarray}$ Nimm' an, f wäre nicht surjektiv. Dann gäbe es ein $\begin{eqnarray} y\in N\setminus\operatorname{Im}(f) \end{eqnarray}$ und somit wäre $\begin{eqnarray} \operatorname{Im}(f)\subseteq N\setminus\left\{y\right\} \end{eqnarray}$ . Da f injektiv ist ..... Hier kannst Du weitermachen. $\begin{eqnarray} (3)\Rightarrow (1): \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist, daß f injektiv ist. Dazu nimm' an, f sei nicht injektiv. Dann gibt es $\begin{eqnarray} x,\tilde x\in M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\neq \tilde x, y:=f(x)=f(\tilde x) \end{eqnarray}$ . Die Abbildung $\begin{eqnarray} h:M\setminus f^{-1}\left(\left\{y\right\}\right)\to N\setminus \left\{y\right\}: z\mapsto f(z) \end{eqnarray}$ it surjektiv (kannst du evtl. ja nachweisen). Was gilt dann für $\begin{eqnarray} \|M\|-1 \end{eqnarray}$ ? Hier kannst Du wieder weitermachen.
26.10.2011, 16:07	Tuffi	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo ich klinke mich mal ein, weil ich vor der selben frage stehe! in $\begin{eqnarray} 3 \Rightarrow 1 \end{eqnarray}$ soll man den widerspruch folgern, dass $\begin{eqnarray} \| M \| -2 \geq \| M \|-1 \end{eqnarray}$ ist, richtig? könnte man in $\begin{eqnarray} 2 \Rightarrow 3 \end{eqnarray}$ nicht ebenfalls mit einer funktion h: M -> N\y argumentieren, die noch immer injektiv ist, weshalb $\begin{eqnarray} \| M \| \leq \| M \| -1 \end{eqnarray}$ wäre? ps: vorschau funktioniert nicht, deshalb weiss ich nicht ob die latex sache hier funktioniert :P
26.10.2011, 16:19	Mengenlerner	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh cool, jemand mit demselben Problem^^ Bin allerdings auch noch nicht durch...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »