Grenzwert für n-> oo

25.10.2011, 13:40

Beshlor

Grenzwert für n-> oo

Meine Frage:
Ich muss den Grenzwert folgender Funktionen berechnen...

1. $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^{n} +5^{n} -7^{n} } \end{eqnarray*}$

2. Produkt von k=2 bis n von $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiss, dass bei 1. 7 und bei 2. 1/2 rauskommt. Jedoch komme ich nicht auf die Umformung..

Muss ich bei 1. einfach die 3^n+5^n weglassen?

Danke,

Beshlor

25.10.2011, 14:16

mYthos

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1.
Der Grenzwert ist sicher nicht 7. Dieser lässt sich nicht berechnen, weil der Radikand sehr schnell negativ wird.

2.
Auch hier stimmt die angegebene Lösung nicht.
Entwickle doch mal das Produkt

$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \cdot \frac 2 3 \cdot \frac 3 4 \cdot \ldots \cdot \frac{n-2}{n-1} \cdot \frac{n-1} n = \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

25.10.2011, 14:32

Beshlor

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komisch, bei 1. sagt mir mein Taschenrechner 7

bei 2. kommt als Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \frac{n-3}{n-1} \end{eqnarray*}$ =1 raus?

25.10.2011, 15:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von Beshlor
Ich muss den Grenzwert folgender Funktionen berechnen...

1. $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^{n} +5^{n} -7^{n} } \end{eqnarray*}$

Meinst du etwa $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^n + 5^n + 7^n} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Beshlor
bei 2. kommt als Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \frac{n-3}{n-1} \end{eqnarray*}$ =1 raus?

Erstmal ist klar, daß $\begin{eqnarray*} \frac{n-3}{n-1} \end{eqnarray*}$ nicht gleich 1 ist. Und bitte nicht raten, sondern begründen.

25.10.2011, 15:54

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Beshlor
Ich muss den Grenzwert folgender Funktionen berechnen...

1. $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^{n} +5^{n} -7^{n} } \end{eqnarray*}$

Meinst du etwa $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^n + 5^n + 7^n} \end{eqnarray*}$ ?

Der Grenzwert ist allerdings derselbe. Die angegebene Lösung (7) ist richtig.

Zitat:

Original von Beshlor
bei 2. kommt als Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \frac{n-3}{n-1} \end{eqnarray*}$ =1 raus?

Erstmal ist klar, daß $\begin{eqnarray*} \frac{n-3}{n-1} \end{eqnarray*}$ nicht gleich 1 ist. Und bitte nicht raten, sondern begründen.

Tipp: kürzen!

Viele Grüße
Steffen

25.10.2011, 16:05

René Gruber

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Der Grenzwert ist allerdings derselbe. Die angegebene Lösung (7) ist richtig.

Nicht, wenn man das ganze als reelle Wurzeln auffasst. Wovon ich mal ausgehe, da keinerlei Bezug zu einer komplexen Betrachtungsweise hier zu sehen ist.

25.10.2011, 17:48

Beshlor

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Also der

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n-3}{n-1} \end{eqnarray*}$ ist doch 1 oder bin ich blöd?

zu 2.

Komplexe Wurzeln sind leider doch Thema...
aber ich weiss nich wie ihr auf 7 kommt?

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^{n} +5^{n} -7^{n} } = \sqrt[n]{-7^{n} } = 7? \end{eqnarray*}$

danke für die Hilfe!

25.10.2011, 18:22

René Gruber

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Zitat:

Original von Beshlor
zu 2.

[...]

aber ich weiss nich wie ihr auf 7 kommt?

"Ihr" ist etwas unpräzise, das ist lediglich Steffens Meinung.

Wie mYthos sehe ich es so, dass die Folge gar nicht als reelle Folge definiert ist, weil $\begin{eqnarray*} 3^n+5^n-7^n<0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ ist, demzufolge ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^n+5^n-7^n} \end{eqnarray*}$ da keine reelle Zahl, zumindest nicht für gerade Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Keine ordentlich definierte Folge - kein Grenzwert.

25.10.2011, 23:02

klarsoweit

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RE: Grenzwert für n-> oo
Ich mache ja jede Wette, daß es $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^{n} +5^{n} +7^{n} } \end{eqnarray*}$ heißen muß, aber Beshlor will darauf nicht eingehen. Nun gut, dann muß er eben sehen, wie er klarkommt. Schulterzuck.

26.10.2011, 09:09

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Beshlor
Komplexe Wurzeln sind leider doch Thema...
aber ich weiss nich wie ihr auf 7 kommt?

Beweisen kann ich's nicht, da müssen andere helfen. Ich sehe nur, daß

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c|c} n & \sqrt[n]{3^n+5^n-7^n}\\ \hline 1 & 1\\ 2 & 3,873i\\ 3 & 2,879+4,987i\\ 4 & 4,537+4,537i\\ 5 & 5,415+3,935i\\ 6 & 5,913+3,414i\\ 7 & 6,215+2,993i\\ 8 & 6,410+2,655i\\ 9 & 6,541+2,381i\\ \end{array} \end{eqnarray*}$

Und so weiter, für n=42 ergibt sich 6,980+0,523i. Und für n=100 dann 6,997+0,220i.

Mir ist klar, daß die hunderste Wurzel einer negativen Zahl hundert Lösungen hat, von denen die obengenannte Hauptlösung nur eine ist. Doch stelle ich jetzt die kühne Behauptung auf, daß diese Hauptlösung für große n gegen die reelle Zahl 7 konvergiert. Ich finde dies hochinteressant und würde mich mit Beshlor freuen, wenn hier jemand den Beweis liefern könnte.

Viele Grüße
Steffen

26.10.2011, 09:14

René Gruber

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Zitat:

Original von klarsoweit
Ich mache ja jede Wette, daß es $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^{n} +5^{n} +7^{n} } \end{eqnarray*}$ heißen muß, aber Beshlor will darauf nicht eingehen. Nun gut, dann muß er eben sehen, wie er klarkommt. Schulterzuck.

Ganz meine Meinung: Einerseits bestätigt Beshlor mehrfach das $\begin{eqnarray*} -7^n \end{eqnarray*}$ , andererseits sagt er, dass komplexe Wurzeln noch kein Thema sind - das passt einfach nicht zusammen. unglücklich

26.10.2011, 10:02

mYthos

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Zunächst noch zu 2.)

Zitat:

Original von Beshlor
...
bei 2. kommt als Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \frac{n-3}{n-1} \end{eqnarray*}$ =1 raus?

Das stimmt nicht. Hast du das Produkt, wie dir geraten wurde, einmal in Faktoren entwickelt? Nach dem Kürzen bleibt $\begin{eqnarray*} \frac 1 n \end{eqnarray*}$ , oder?
___________________

Zu 1)
In der Tat sehr interessant. Der Grenzwert dürfte tatsächlich 7 sein.
DERIVE kann ihn ad hoc allerdings nicht berechnen. WolframAlpha berechnet jedoch 7 (und 3 für n --> -oo, sowie 15/7 für n --> 0)

Wenn wir den Term umschreiben zu

$\begin{eqnarray*} (-1)^{\frac 1 n} \cdot (-3^n -5^n + 7^n)^{\frac 1 n} \end{eqnarray*}$

dann ist der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} (-1)^{\frac 1 n} \end{eqnarray*}$ zu berechnen (--> 1) und bei dem rechten Faktor wird es zu einer reellen Grenzwertberechnung (--> 7). Vielleicht ist die Grenzwertberechnung dann bei den beiden einzelnen Faktoren leichter.

mY+

26.10.2011, 10:58

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von mYthos
WolframAlpha berechnet jedoch 7 (und 3 für n --> -oo, sowie 15/7 für n --> 0)

Ja, eine faszinierende Funktion:

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