maximale Fläche eines unregelmäßigen Vierecks

25.10.2011, 14:01

schaefle72

maximale Fläche eines unregelmäßigen Vierecks

Meine Frage:
Hallo Zusammen,
ich habe 4 unterschiedlich lange Strecken eines Viereckes. Dadurch gibt es unendlich viele Lösungen, da es noch einer Angabe bedarf. Ein Winkel!
Wenn dieses Viereck "theoretisch" mit Luft gefüllt werden würde, würde es eine bestimmte Form annehmen (ausgeglichene Form). Wie kann ich diesen Winkel bestimmen? Danke schon im Vorauss!

Meine Ideen:
Ein Kreis ist die ideale Form mit dem größt möglichen Flächeninhalt. Das Viereck sollte daher auch die größt mögliche Fläche annehmen. Ich vermute, dass dies eine Min./Max. Rechnung ist oder aber eine Ausgleichsrechnung über die Methode der kleinsten Quadrate. Leider bin ich schon ein paar Jahre aus der Schule und die Rechenmethoden sind mir nicht mehr geläufig.

25.10.2011, 16:08

Leopold

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Wie üblich seien die Seitenlängen eines Vierecks reihum mit $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

Ich zitiere aus Wilfried Haag, Wege zu geometrischen Sätzen, Klett-Verlag 2003, Seite 55:

Zitat:

Unter allen Vierecken mit den Seiten $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ ist das Sehnenviereck das flächengrößte.

Zitat:

Die größte Fläche, die ein Viereck mit den Seiten $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ haben kann, beträgt

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} \sqrt{\left( a \cdot c + b \cdot d \right)^2 - \frac{1}{4} \left( a^2 - b^2 + c^2 - d^2 \right)^2} \end{eqnarray*}$

Die Gleichung für das Sehnenviereck kann auf die Form

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 16 \cdot A^2 = \left( -a+b+c+d \right) \cdot \left( a-b+c+d \right) \cdot \left( a+b-c+d \right) \cdot \left( a+b+c-d \right) \end{eqnarray*}$

gebracht werden. Mit $\begin{eqnarray*} s = \frac{1}{2} \cdot \left( a+b+c+d \right) \end{eqnarray*}$ bekommt sie die Form des folgenden Satzes:

Zitat:

(Brahmagupta) Ein Sehnenviereck besitzt den Flächeninhalt

$\begin{eqnarray*} A = \sqrt{(s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c) \cdot (s-d)} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ der halbe Umfang ist.

Für $\begin{eqnarray*} d=0 \end{eqnarray*}$ geht das Sehnenviereck in ein Dreieck über, die Formel in die Formel von Heron für den Flächeninhalt eines Dreiecks.

26.10.2011, 09:28

schaefle72

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Hallo Leopold!
Super, vielen Dank!
Nun kann ich die Fläche berechnen.
Um das Viereck eindeutig bestimmen zu können benötigt man noch einen Winkel.
Gibt es dazu auch noch eine Gleichung für einen Winkel?

26.10.2011, 09:48

René Gruber

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Nun, da du erfahren hast, dass das maximierende Viereck bei gegebenen $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ ein Sehnenviereck ist, kannst du die Innenwinkel folgendermaßen berechnen: In einem Sehnenviereck ergänzen sich gegenüber liegende Winkel zu $\begin{eqnarray*} 180^{\circ} \end{eqnarray*}$ , also gilt z.B. $\begin{eqnarray*} \gamma = 180^{\circ}-\alpha \end{eqnarray*}$ . Den Kosinussatz zur Berechnung der Diagonale $\begin{eqnarray*} f = \overline{BD} \end{eqnarray*}$ doppelt angewandt ergibt

$\begin{eqnarray*} d^2+a^2-2ad\cos(\alpha) = f^2 = b^2+c^2-2bc\cos(\gamma) = b^2+c^2+2bc\cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ .

Umstellen nach $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ , ausrechnen, fertig.

26.10.2011, 10:37

schaefle72

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Der Hammer!
So schnelle Antwort mit der perfekten Lösung.

Vielen Dank!!!!

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