Äquivalenz von inf(M)=-sup(-M) beweisen |
| 25.10.2011, 17:05 | nebula | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Äquivalenz von inf(M)=-sup(-M) beweisen Hallo liebes Matheboard, da dies meine erste Frage ist, stelle ich zuerst mal die Aufgabe und danach versuche ich zu Erklären was ich nicht verstehe. M ist Teilmenge der reellen Zahlen (M ist nichtleer und nach unten beschränkt). Beweisen Sie: Die Menge -M:={-m:m element von M} ist nach oben beschränkt und es gilt inf(M)=-sup(-M) Meine Ideen: So, ich kann mir da schon etwas drunter vorstellen. Ich denke, es gibt eine Menge N (Teilmenge der reellen Zahlen), für die alle m element aus M größer-gleich N sind (das wäre dann ja das Infimum, wenn ich mich nicht irre). Aber leider verstehe ich nicht viel davon, soetwas zu zeigen, sprich die obige Äquivalenz zu beweisen. Für Hilfestellungen wäre ich äußerst dankbar 
|
||||||
| 25.10.2011, 17:51 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Infimum ist keine Menge sondern eine Zahl. Etwa ist das Infimum von (1,2] die 1 Schreibe doch mal exakt auf was es bedeutet, wenn M nach unten beschränkt ist. |
||||||
| 25.10.2011, 18:17 | nebula | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich glaub ich habe es, nen kumpel hat mir geholfen. ich stells mal vor: (leider spinnt java und ich kann die zeichen nicht so einfügen :S...) (1) für alle m aus M gilt: m größer-gleich inf(M) für alle m aus M gilt: Es existiert ein -m kleiner gleich sup(-M) => für alle -m aus M gilt: -m größer-gleich -inf(M) (2) für alle -m kleiner-gleich sup(-M) und für alle -m größer-gleich -inf(M) => sup(-M)=-inf(M) /*(-1) = -sup(-M)=inf(M) |
||||||
| 25.10.2011, 18:22 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist zu beweisen, hier wird es als Voraussetzung benutzt. So geht das nicht.
Was soll das, wo kommt die Gleichung sup(-M)=-inf(M) her? |
||||||
| 25.10.2011, 18:23 | nebula | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das mit dem Infimum ist mir bewusst, war schlecht formuliert das geb ich zu. leider kann ich nur sagen, dass wenn M nach unten beschränkt ist, Zahlen existieren, die diese Menge nicht annehmen kann. die größte dieser Zahlen (sprich die, die am nächsten an die Schranke herankommt ist dann das Infimum (oder auch die größte untere Schranke) also so würd ich das formulieren. Verbesser mich bitte wenn es falsch ist, ich mache das noch nicht so lange :S |
||||||
| 25.10.2011, 18:29 | nebula | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
oh stimmt, also muss ich zuerst beweisen, dass die Menge -M nach unten beschränkt ist oder? Zu dem Zweiten: scheint wohl ohne herleitung nicht besonders sinnvoll zu sein 
|
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 25.10.2011, 18:30 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das kannst Du nicht beweisen, weil es nicht stimmt. Du musst zeigen dass die Menge -M nach oben beschränkt ist (sonst könntest Du ja auch kein Supremum bilden). |
||||||
| 25.10.2011, 18:31 | nebula | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
sorry das meinte ich.. bin nur nen bissl durcheinander, weil ich nicht wirklich mit dem stoff hinterher komme. |
||||||
| 25.10.2011, 18:34 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na dann mal ran an den Speck, sei also , was ist zu zeigen? |
||||||
| 25.10.2011, 18:38 | nebula | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn x element aus -M ist, dann gibt es ein n element der reellen zahlen, für das gilt: x kleiner-gleich n. |
||||||
| 25.10.2011, 18:39 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So siehst aus. Nun wissen wir das für gilt, daher ist ? |
||||||
| 25.10.2011, 18:44 | nebula | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ab dem punkt komm ich schon nicht mehr mit
du schreibst, dass -xgrößer-gleich inf(M) ist, aber sollte nicht "positiv x" diese bedingung erfüllen? also damit meine ich: xgrößer-gleich inf(M) versteh ich, wenn x element aus M ist. allein das minus ist mir unklar und was dann darauf folgen soll. |
||||||
| 25.10.2011, 18:55 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir haben nicht umsonst angenommen, oder? |
||||||
| 25.10.2011, 18:57 | nebula | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
achso klar, ja dann ist das klar |
||||||
| 25.10.2011, 18:59 | nebula | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
dann müsste ja darauf folgen: -x=-sup(-M) oder ist das wieder voll daneben? |
||||||
| 25.10.2011, 19:05 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Soweit sind wir noch nicht, wir wissen erstmal nur, dass ist, daher ist -M nach oben beschränkt. Jetzt ist nur noch zu zeigen. Schreibe dazu mal exakt auf, was das SUpremum ist. |
||||||
| 25.10.2011, 19:11 | nebula | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn es ein Supremum für die Menge -M gibt, dann muss es ein y Element der reellen Zahlen geben, für das gilt: x kleiner-gleich y. (Supremum ist ja die kleinste obere Schranke) |
||||||
| 25.10.2011, 19:18 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist nicht die Definition des Supremums. |
||||||
| 25.10.2011, 19:30 | nebula | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
mhh, ich kann ja kurz mal aus dem vorlesungsskript zitieren. wird nur leider nicht besonders anschaulich, hoffe dass es trotzdem verständlich ist. Definition von Supremum/Infimum: Es sei (K,<) ein angeordneter Körper und M Teilmenge aus K (M nichtleere Teilmenge). (1) s element von K heißt kleinste obere Schranke oder auch Supremum von M, wenn s eine obere Schranke ist und s kleiner-gleich c für alle oberen Schranken c von M. Dann schreiben wir s=sup(M) (2) l element von K heißt größte untere Schranke oder auch Infimum von M, wenn l eine untere Schranke von M ist und l größer-gleich c für alle unteren Schranken c von M. Wir schreiben l=inf(M) |
||||||
| 25.10.2011, 19:38 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ist also zu zeigen : Wenn dann ist , denn daraus folgt sofort |
||||||
| 25.10.2011, 19:58 | nebula | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay, ich schiebe hier gerade x und c hin und her, aber ich weiß nicht genau wie ich zu deiner Folgerung c größer-gleich -inf(M) komme. ich hab folgendes auf mein blatt geschrieben: -x ist größer-gleich inf(M) x ist kleiner gleich -inf(M) c ist größer-gleich x, welches kleiner gleich -inf(M) ist also ich komme nicht auf den unmittelbaren Zusammenhang von c und -inf(M). Wenn x schon größer als -inf(M) wäre, würds mir klar erscheinen, dass c auch größer ist, da c ja schon größer als x war. wenn ich mich undeutlich ausdrücke bitte bescheid sagen, ich versuche mich da dann anzupassen |
||||||
| 25.10.2011, 20:14 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, wenn für alle x aus -M ist, dann ist sicherlich auch für alle x aus -M. Jetzt nur noch Definition vom Infimum nutzen, und man hat es. |
||||||
| 25.10.2011, 20:22 | nebula | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also wenn -x größer-gleich -c ist, dann ist -c=inf(M), was äquivalent zu c=-inf(M) wäre. sehe ich das richtig? also ich nehme jetzt an, dass -c Infimum ist, da es kleiner-gleich x (aus -M) ist. |
||||||
| 25.10.2011, 20:26 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das ist nicht richtig. Wenn für alle x aus -M ist, dann ist für alle x aus M. Dann ist nach Definition des Infimums. Der Rest ist jetzt trivial. |
||||||
| 25.10.2011, 20:46 | nebula | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also das x größer-gleich -c für x element M ist, verstehe ich. Jedoch nicht, warum -c kleiner-gleich inf(M) ist :S |
||||||
| 25.10.2011, 20:49 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann schau Dir mal die exakte Definition vom Infimum an. Das Infimum ist die größte untere Schranke. Wir haben gezeigt dass -c eine untere Schranke von M ist. Damit muss -c kleinergleich dem Infimum von M sein, da dass Infimum ja die größte untere Schranke ist. |
||||||
| 25.10.2011, 20:51 | nebula | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
jetzt seh ich es auch... tut mir leid... dauert manchmal ein bisschen. aber vielen dank für den ganzen aufwand
. Ich versuche mich dann mal am "trivialen rest" :P |
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
