Beweis k*k - j*j = 10 |
| 25.10.2011, 17:15 | kimbo777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Beweis k*k - j*j = 10 Ich versuche mich an dem Beweis, dass es keine 2 natürliche Zahlen gibt, sodass j*j - k*k = 10 Meine Ideen: Beweis durch Widerspruch Also ich nehme an, dass es für k und j natürliche zahlen gibt, sodass j*j - k*k = 10 j*j - k*k = 10 => (j-k) (j+k) = 10 => j = 10 + k*k => j = \sqrt{(10 + k*k)} => \sqrt{(j*j - 10)} Könnte mir jemand einen kleinen Tipp geben wie ich hier weitermachen kann? Also wenn ich die wurzel dann auflöse kommt ja immer ein irrationaler wert raus weil entweder 10 addiert bzw subtrahiert wird und 10 von keiner Zahl die Quadratzahl ist. Irgendwie komm ich jetzt nich mehr weiter 
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| 25.10.2011, 17:27 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist eine gute Idee. Da Du natürliche Lösungen suchst ist Wurzel ziehen keine so gute Idee (die Wurzelfkt. ist auf den natürlichen Zahlen nicht definiert). Besser ist es eine Eigenschaft der Eigenschaft der natürlichen Zahlen auszunützen, wie der Primfaktorzerlegung. |
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| 25.10.2011, 18:35 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Faktorisierungslösung ist sicher der "natürlichste" Zugang zu diesem Problem. Eine Alternativlösung ist, die Gleichung einfach modulo 4 zu betrachten. |
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| 25.10.2011, 20:13 | kimbo777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok. ich habs jetzt erst mal mit der primfaktorzerlegung probiert. Das mit mod 4 versteh ich nicht 
Ich hab mir überlegt: (k-j) * (k+j) = 10 => (k-j) * (k+j) = 5 * 2 dann mach ich ne Fallunterscheidung 1. Fall : (k-j) = 2 , (k+j) = 5 ..... dann bekomm ich b = 3/2 a = 3 1/2 2.Fall (k-j) = 5 (k+j) = 2 ...... k = - 3/2 j= 3,5 Das is ein widerspruch denn das sind keine nat. Zahlen 
stimmt das? |
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| 25.10.2011, 20:39 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Fallunterscheidung ist unvollständig: 3.Fall: k-j=1, k+j=10 ist (zunächst) auch denkbar! |
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| 25.10.2011, 20:58 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit nur zwei Fällen kommt man übrigens aus, wenn man k-j gerade/ungerade unterscheidet und k+j=k-j+2j ausnutzt. |
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| 25.10.2011, 21:01 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit entsprechender Organisation kommt man sogar ganz ohne Fallunterscheidung aus: Da 10 durch 2, aber nicht durch 4 teilbar ist, ist von den beiden Faktoren k-j und k+j einer gerade und der andere ungerade. Womit die Summe ungerade ist... Das ist aber im Prinzip schon der Kern der modulo4-Lösung. 
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| 26.10.2011, 16:58 | kimbo777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
DANKESCHÖN Für die Hilfe, freu mich immer riesig wenn ich ein Beweis zustande bekomm 
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