Bestimmung von Elementen einer Potenzmenge

25.10.2011, 17:59

Algebraanfänger

Bestimmung von Elementen einer Potenzmenge

Meine Frage:
Hallo liebe Mathefreaks, ich komme bei zwei Übungsaufgaben, zu denen ich jeweils die Elemente der vorgegebenen Potenzmenge auschreiben soll, nicht weiter. Mit dem Formeleditor komme ich noch nicht so recht klar, darum habe ich die beiden Potenzmengen als Bild angehängt (einfach auf die Links klicken).

a) http://img215.imageshack.us/img215/5723/leeremenge.jpg
b) http://img810.imageshack.us/img810/6233/vereinigtemenge.jpg

Hierbei ist zu sagen, dass unser Dozent für Potenzmengen die bekannte Schreibweise 2^{M} benutzt. Demnach gehe ich davon aus, dass ich es in in Aufgabe a) nicht mit irgendwelchen Quadratzahlen zu tun habe, sondern die Elemente einer Potenzmenge einer Potenzmenge einer Potenzmenge finden soll, also quasi von P(P(P({}))), finden soll.

Meine Ideen:
Nun gut, die Aufgaben in der Übung zum Thema waren sehr einfach gehalten und hatten alle das bekannte Schema 2^{a,b,c}, was in diesem Falle 8 Elemente bedeutet, da 2³ Elemente zu finden sind, nämlich {{},{a,b,c} {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}}.
Nach diesem Prinzip haben wir ein paar aufgaben geübt mal mit mehr mal mit weniger Elementen. Doch wenn die im Exponenten wiederum Potenzmengen stehen, blicke ich nicht mehr so richtig durch, wie viele Elemente es gibt, und welche das sein sollen?

Ich nehme mal Aufgabe a): Hätte ich hier nur die Elemente der Potenzmenge 2^{} zu finden, dann müsste ich auf eine Mächtigkeit von 2 kommen, da ich ja nur eine einelementige Menge habe (ich behandele die leere Menge {} wie jedes andere Element. Also müsste 2^{} folgende Elemente haben {{},{{}}}. Wörtlich gesprochen(da es leider etwas unübersichtlich ist) müssten also die leere Menge und die Menge der leeren menge Elemente von P sein. Das wäre mein Anfang, doch weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen soll?

Bei Aufgabe B ist es ähnlich. Hier irritiert mich, dass neben {a} noch die Potenzmenge 2^{b,c} Teil des Exponenten ist. Mein Ansatz wäre, dass ich von oben nah unten beginne, also zuerst die Elemente von {b,c} aufschreibe, was folglich {{},{b},{c},{b,c}} wären und dann versuche, jedem dieser Elemente noch {a} zuzuordnen, so dass ich 8 Elemente hätte. Oder ist dieser Ansatz falsch? Wie soll ich vorgehen?
Danke.

25.10.2011, 18:10

Pascal95

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Der Trick ist hier, dass man von innen nach außen vorgeht, wie eigentlich immer.

Dann geht das genauso einfach, als wenn das nicht verschachtelt wäre; man muss halt schrittweise vorgehen...

Edit:
Vergleiche doch mal damit, wie du $\begin{eqnarray*} f(g(3x)+7)^2 \end{eqnarray*}$ rechnen würdest.
Hier sind $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ reelle Funktionen.

25.10.2011, 18:47

Algebraanfänger

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Zitat:

Original von Pascal95
Der Trick ist hier, dass man von innen nach außen vorgeht, wie eigentlich immer.

Dann geht das genauso einfach, als wenn das nicht verschachtelt wäre; man muss halt schrittweise vorgehen...

Edit:
Vergleiche doch mal damit, wie du $\begin{eqnarray*} f(g(3x)+7)^2 \end{eqnarray*}$ rechnen würdest.
Hier sind $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ reelle Funktionen.

Das irritiert mich immer noch, da ich (wie mein Name schon sagt) blutiger anfänger bin bzw. sehr lange kein Mathe hatte. Wenn Du sagst, ich soll von innen nach außen vorgehen, dann wird das so sein, wie ich es damals in der Primarstufe hatte, also erst die inneren Klammern berechenen und sich dann weiter nach außen vorarbeiten. Nur kann ich das jetzt noch nicht auf meine Aufgabe übertragen.

Gruß

25.10.2011, 18:59

Algebraanfänger

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Von innen nach außen vorgehen wäre doch z. B. bei Aufgabe a) zuerst die Elemente von 2^{} angebe, also {{},{{}}}. Dann hätte ich bereits zwei Elemente. Nun müsste ich mit diesen Elementen in 2^2^{} verfahren. Doch habe ich echt keine Ahnung, auf welche Elemente ich dann kommen muss?

25.10.2011, 19:28

Pascal95

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Da ist dir ein Fehler unterlaufen.

Wie viele Elemente muss denn $\begin{eqnarray*} 2^\emptyset \end{eqnarray*}$ haben ?

Dazu gibt es eine schöne Formel (allerdings nur für endliche Mengen).

$\begin{eqnarray*} \emptyset &:& \text{leere Menge} \end{eqnarray*}$

25.10.2011, 19:47

Algebraanfänger

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Zitat:

Original von Pascal95
Da ist dir ein Fehler unterlaufen.

Wie viele Elemente muss denn $\begin{eqnarray*} 2^\emptyset \end{eqnarray*}$ haben ?

Dazu gibt es eine schöne Formel (allerdings nur für endliche Mengen).

$\begin{eqnarray*} \emptyset &:& \text{leere Menge} \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt sagen, $\begin{eqnarray*} 2^\emptyset \end{eqnarray*}$ hat genau ein Element, nämlich nur { $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ } Denn 2^0 wäre ja 1.

25.10.2011, 19:56

Pascal95

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Richtige Überlegung, aber wenn ich ganz genau bin, ...

$\begin{eqnarray*} \{ \emptyset \} \notin 2^\emptyset \end{eqnarray*}$

Schreibe am besten die Menge auf, dann ist es eindeutig.

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