Vollständige Induktion

25.10.2011, 18:56

angelinka

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo Leutz!
Meine Frage:

Es gilt ja bekannterweise:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{n(n+1)(n+2)}{3} und \sum\limits_{k=1}^n \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} \end{eqnarray*}$

Jedoch ist nun die Frage, welche Formel allgemein für
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k(k+1)...(k+m-1) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiss, dass für Binomialkoffizienten gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)...(n-k+1)}{k!} =: n-ueber-k \end{eqnarray*}$

und es gilt auch:

$\begin{eqnarray*} (n+1)-ueber-(k+1):= \frac{n(n+1)...(n-k+1)}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$

Das sieht schon verdammt aehnlich der Aufgabenstellung aber mir fehlt eben der entscheidende Gedanke... Waere um jede Hilfe froh

25.10.2011, 19:00

René Gruber

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Bitte vervollständigen!!!

Zitat:

Original von angelinka
Es gilt ja bekannterweise:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n {\color{red} ? = } \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n {\color{red} ? = } \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} \end{eqnarray*}$

Offenbar fehlt da was...

25.10.2011, 19:09

angelinka1

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RE: Bitte vervollständigen!!!
Ohhh ja, sorry=) Natürlich fehlt da was=):

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k(k+1)= \frac {n(n+1)(n+2)}{3} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k(k+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} \end{eqnarray*}$

25.10.2011, 19:54

René Gruber

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Die allgemeine Formel ist, wie nicht anders zu erwarten war

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k(k+1)\cdot \ldots \cdot (k+m-1) = \frac{n(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+m)}{m+1} \end{eqnarray*}$ .

Dividiert durch $\begin{eqnarray*} m! \end{eqnarray*}$ ergibt sich die "griffigere" Formel

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \binom{k+m-1}{m} = \binom{n+m}{m+1} \end{eqnarray*}$ ,

die lässt sich durch Induktion über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ leicht nachweisen, wobei im Induktionsschritt die aus dem Pascalschen Dreieck bekannte Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} \binom{s}{m} + \binom{s}{m+1} = \binom{s+1}{m+1} \qquad (*) \end{eqnarray*}$

Verwendung finden kann, und zwar für $\begin{eqnarray*} s=n+m \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Nahezu jeder Beweis zu Binomialkoeffizient-Eigenschaften greift auf Eigenschaft (*) zurück, in der einen oderen Gestalt. Augenzwinkern

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