Variation der Konstanten

25.10.2011, 20:11

Paradiesvogel

Variation der Konstanten

Meine Frage:
Hallo Leute!

Ich habe hier ein Problem mit einer Differentialgleichung.
$\begin{eqnarray*} \dot{x} = t^{2}x + 1 - t^{3} \end{eqnarray*}$
Diese sollen wir per Variation der Konstanten lösen, aber ich habe in der Vorlesung leider nicht verstanden, wie das geht.

Es wäre echt toll, wenn mir jemand helfen könnte.

Meine Ideen:
Den homogenen Teil habe ich schon gelöst. Zumindest hoffe ich, dass es stimmt. Die homogene Gleichung lautet ja:
$\begin{eqnarray*} x = t^{2} x \end{eqnarray*}$
...und nach dem Lösen komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} x(t) = c \cdot e^{ \frac{t^{3}}{3}} \end{eqnarray*}$ .
Ich hoffe, dass das so stimmt. Bei dem inhomogenen Teil, weiß ich aber gar nicht, wo ich anfangen soll. Hoffentlich kann mir jemand helfen. Was genau muss man denn da machen und wo fängt man an?

Vielen Dank!

25.10.2011, 20:36

Mulder

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RE: Variation der Konstanten
Lass die Konstante, also das c, variieren, mach also den Ansatz

$\begin{eqnarray*} x = c(t)\cdot e^{\frac{t^3}{3}} \end{eqnarray*}$

Bestimme nun $\begin{eqnarray*} \dot x \end{eqnarray*}$ (denk an die Produktregel, denn c ist nun nicht mehr konstant) und setz alles in die DGL ein. Nach c' auflösen, integrieren, fertig.

25.10.2011, 20:57

Paradiesvogel

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Versuch!
OK, erstmal vielen Dank für deine Antwort.
Dann ist mir aufgefallen, dass ich bei der Gleichung für die homogene Lösung den Punkt auf dem x vergessen habe. Ich hoffe, dass das nichts an deiner Erklärung ändert.

...also der Ansatz ist:
$\begin{eqnarray*} x = c(t) \cdot e^{ \frac{t^{3}}{3}} \end{eqnarray*}$
Das soll nun abgeleitet werden:
$\begin{eqnarray*} \dot{x} = c'(t) \cdot e^{ \frac{t^{3}}{3}} + c(t) \cdot t^{2} \cdot e^{ \frac{t^{3}}{3}} \end{eqnarray*}$

Wenn du sagst, dass ich es in die DGL einsetzen soll, meinst du dann, dass ich die linke Seite, also das x mit dem Punkt drauf durch das hier ersetzen soll? Ich versuche es erstmal:
$\begin{eqnarray*} c'(t) \cdot e^{ \frac{t^{3}}{3}} + c(t) \cdot t^{2} \cdot e^{ \frac{t^{3}}{3}} = t^{2}x + 1 - t^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c'(t) = \frac{t^{2}x + 1 - t^{3}}{e^{ \frac{t^{3}}{3}}} - c(t) \cdot t^{2} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass das soweit stimmt. Natürlich kann es aber sein, dass ich mich verrechnet habe. Wie soll ich das denn nun integrieren? Vor allem habe ich ja noch ein c(t) drin. Kann das stimmen?

25.10.2011, 21:02

Mulder

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RE: Versuch!

Zitat:

Original von Paradiesvogel

Dann ist mir aufgefallen, dass ich bei der Gleichung für die homogene Lösung den Punkt auf dem x vergessen habe.

Über den Tippfehler habe ich mal großzügig hinweggesehen. Es war ja klar, was gemeint ist. Und nein, dadurch ändert sich nichts an meiner Erklärung.

Zitat:

Original von Paradiesvogel
Wie soll ich das denn nun integrieren? Vor allem habe ich ja noch ein c(t) drin. Kann das stimmen?

Das war unsere DGL:

$\begin{eqnarray*} \dot{x} = t^{2}x + 1 - t^{3} \end{eqnarray*}$

Du hast jetzt zwar auf der linken seite das $\begin{eqnarray*} \dot x \end{eqnarray*}$ ersetzt, aber auf der rechten Seite steht ja auch noch ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Auch da musst du einsetzen:

$\begin{eqnarray*} x = c(t)\cdot e^{\frac{t^3}{3}} \end{eqnarray*}$

Wenn du das richtig machst, kürzt sich c(t) immer raus.

25.10.2011, 21:20

Paradiesvogel

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Oh, stimmt!
Vielen Dank, für den Tipp. Da bin ich einfach drüber weg gegangen. Ich versuche es gleich noch einmal:
$\begin{eqnarray*} \dot{x} = t^{2}x + 1 - t^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c'(t) \cdot e^{ \frac{t^{3}}{3}} + c(t) \cdot t^{2} \cdot e^{ \frac{t^{3}}{3}} = t^{2} \cdot c(t) \cdot e^{ \frac{t^{3}}{3}} + 1 - t^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c'(t) \cdot e^{ \frac{t^{3}}{3}} = 1 - t^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c'(t) = \frac{1 - t^{3}}{e^{ \frac{t^{3}}{3}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c(t) = e^{ \frac{-t^{3}}{3}} t + k \end{eqnarray*}$

Wow, geil! Das kürzt sich ja jetzt wirklich weg. Brauche ich am Ende noch diese Konstante, die ich mal spontan k genannt habe?
Ist das jetzt das Ergebnis, oder muss ich das noch irgendwo anders einsetzen?

25.10.2011, 21:37

Mulder

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RE: Oh, stimmt!

Zitat:

Original von Paradiesvogel
Brauche ich am Ende noch diese Konstante, die ich mal spontan k genannt habe?

Natürlich brauchst du sie. Sonst hättest du ja nur eine Lösung, wir wollen aber ja gerne alle haben.

Zitat:

Original von Paradiesvogel
Ist das jetzt das Ergebnis, oder muss ich das noch irgendwo anders einsetzen?

So ganz verstehe ich die Frage nicht. Dein gefundenes c(t) setzt du natürlich noch hier ein:

$\begin{eqnarray*} x = c(t)\cdot e^{\frac{t^3}{3}} \end{eqnarray*}$

Dann hast du die Lösung(en) deiner inhomogenen DGL.

25.10.2011, 21:50

Paradiesvogel

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Konstante und so...
OK, dann kommt die Konstante noch ran. Ich war mir nur nicht sicher, weil wir ja schon c als Konstante hatten, aber das ist dann ja weg. Da hast du recht. Danke!

Das ganze Ergebnis sollte dann also so aussehen, oder?:
$\begin{eqnarray*} x = \left( e^{ \frac{-t^{3}}{3}}t + k \right) \cdot e^{ \frac{t^{3}}{3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = e^{ \frac{-t^{3}}{3}}t \cdot e^{ \frac{t^{3}}{3}} + k \cdot e^{ \frac{t^{3}}{3}} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so, oder ist da jetzt ein Denkfehler drin? Sollte am Ende nicht noch eine Konstante einzeln stehen? Die gibt es ja aber nicht mehr, wenn ich das da einsetze.

25.10.2011, 21:54

Mulder

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RE: Konstante und so...
Das ist so alles richtig. Vereinfachen kannst du es aber noch ein wenig. Eine Konstante muss da nicht einzeln stehen, nein. Die Konstante (die du k genannt hast) kommt in dem Moment dazu, in dem du das c' integrierst. Immer!

Übrigens gibt es, da das Verfahren ja immer dasselbe ist, auch schon fertige "Lösungsformeln" für solche DGLn. Hast du die DGL

$\begin{eqnarray*} y' = a(x)y+b(x) \end{eqnarray*}$

gegeben, so ist eine Lösung für inhomogene DGL gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} y = e^{A(x)} \cdot \left ( \, \int b(x) \cdot e^{-A(x)} \, \dx \right ) \end{eqnarray*}$

Wobei A(x) eine Stammfunktion von a(x) ist. Und wenn ein Anfangswert gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} y'(x)+a(x)y(x)=b(x) \quad , \quad y(x_0)=y_0 \end{eqnarray*}$

Lautet die Lösung so:

$\begin{eqnarray*} y(x) = \left ( \, \int\limits_{x_0}^x b(\tau) \cdot \exp{ \left ( \, \int\limits_{x_0}^{\tau} a(\xi) \, \dd \xi \right ) } \dd \tau + y_0 \right ) \cdot \exp \left ( - \int\limits_{x_0}^x a(s) \dd s \right ) \end{eqnarray*}$

Ich persönlich rechne lieber von Hand, also so, wie wir es hier nun gemacht haben. Auf den ersten Blick ist ja auch gerade die unterste Formel ein richtiges Monster. Weil ich mir die Formeln sowieso nicht alle merken kann. Aber jeder, wie er mag.

25.10.2011, 22:05

Paradiesvogel

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Super!
Ich rechne auch lieber von Hand. Bei solchen Formeln vergisst man doch meist etwas kleines und dann ist schon alles falsch. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist bei unserer Methode zwar nicht kleiner, aber es ist nachvollziehbar und damit irgendwie beruhigender.

Vielen, vielen Dank, dass du mir geholfen hast. Danke!!

Paradiesvogel

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