Äquivalenzrelation

25.10.2011, 20:47

AppleFan

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Äquivalenzrelation

Meine Frage:
Auf R sei die folgende Relation definiert: a~b :<=> a-b ? Q
Gezegt werden soll, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.

Meine Ideen:
Weiß jemand vielleicht, wie ich da vorgehen muss? Bei der Aufgabe habe ich gar keine Ahnung, habe sowas noch nie gemacht...

25.10.2011, 20:50

Mazze

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Naja, Du musst die 3 Eigenschaften einer Äquivalenzrelation nachweisen :

Schritt 1 : Schau Dir an was diese drei Eigenschaften sind.

Schritt 2 : Schreibe auf was diese Eigenschaften für deine Relation bedeuten.

Schritt 3 : Beweise sie.

25.10.2011, 20:58

AppleFan

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Reflexiv, symmetrisch, transitiv?
Oha...

25.10.2011, 21:01

Mazze

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Zitat:

Reflexiv, symmetrisch, transitiv? Oha...

Damit kann man schonmal was anfangen. Schreib auf was diese Eigenschaften für deine Relation bedeuten.

25.10.2011, 21:09

AppleFan

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Reflexiv: Jedes Objekt ist zu sich selbst äquivalent. Also a~a?
Symmetrisch: Wenn a~b, dann auch b~a und umgekehrt?
Transitivität im Allgemeinen: Wenn a~b und b~c, dann a~c. Wo ist denn mein c in meiner Aufgabe? :/

25.10.2011, 21:11

Mazze

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Zitat:

Also a~a?

Ja was bedeutet denn a ~ a für deine Relation, dass ist doch nur die allgemeine Formulierung.

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25.10.2011, 21:38

AppleFan

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ädas ist genau mein Problem, ich weiß nicht, wie ich das Allgemeine übertragen soll auf die konkrete Aufgabe, habe das noch nirgendwo gesehen und kann mir ganz alleine keinen Reim draus machen... unglücklich

unglücklich

25.10.2011, 21:40

Mazze

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Es gilt doch a ~ a <=> wenn ? Schau doch mal oben die Definition.

25.10.2011, 21:49

AppleFan

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Hmm, da steht, a~b <=> a-b....also a~a <=> a-a ??

25.10.2011, 21:52

Mazze

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Naja, es heißt ja

$\begin{eqnarray*} a \sim b \Leftrightarrow a - b \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

Es wird ja nicht ausdrücklich gesagt dass a ungleich b sein muss. D.h es kann auch sein dass sie gleich sind. Du musst Dir nur überlegen ob

$\begin{eqnarray*} a - a \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

gilt, denn dann ist $\begin{eqnarray*} a \sim a \end{eqnarray*}$ und die Relation damit reflexiv.

25.10.2011, 21:55

AppleFan

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a-a müsste doch 0 sein, oder? Und = ist doch E Q...oder?

25.10.2011, 21:57

Mazze

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Zitat:

a-a müsste doch 0 sein

Wieso müsste, wenn a eine reelle Zahl ist und ich a von a abziehe bleibt genau 0 übrig. Schulwissen! Trau dich ruhig was!

Zitat:

Und = ist doch E Q...oder?

Du meinst sicher, ob 0 in Q liegt. Beantworte dir die Frage selbst, gibt es Ganze Zahlen m und n so dass $\begin{eqnarray*} \frac{m}{n} = 0 \end{eqnarray*}$ ist ? Wenn ja ist die 0 eine rationale Zahl. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.10.2011, 16:26

AppleFan

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Ja klar^^

Also ist die Relation auf jeden Fall reflexiv.

Um zu zeigen, ob sie symmetrisch ist, müsste doch a=b sein... Muss man dafür nicht zeigen, dass a kleinergleich b ist und andersrum? Wie mache ich das denn? unglücklich

unglücklich

26.10.2011, 16:38

Mazze

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Zitat:

Um zu zeigen, ob sie symmetrisch ist, müsste doch a=b sein... Muss man dafür nicht zeigen, dass a kleinergleich b ist und andersrum? Wie mache ich das denn? unglücklich

Wie immer hilft es, wenn man sich vernünftig aufschreibt was zu tun ist.

Definition von Symmetrie :

Wenn $\begin{eqnarray*} a \sim b \end{eqnarray*}$ gilt, dann muss auch $\begin{eqnarray*} b \sim a \end{eqnarray*}$ gelten.

Für deine Relation heißt das :

Wenn $\begin{eqnarray*} a - b \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ dann muss auch $\begin{eqnarray*} b - a \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ sein. Das ist also zu zeigen.

26.10.2011, 16:52

AppleFan

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Ok...aber ist die logische Konsequenz nicht, dass wenn das eine gilt, das andere direkt auch gelten muss? Am Betrag von x und y verändert ja diese Operation nichts, oder? Kann man das formal so hinschreiben?

26.10.2011, 16:57

Mazze

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Zitat:

aber ist die logische Konsequenz nicht, dass wenn das eine gilt, das andere direkt auch gelten muss?

Natürlich ist das die logische Konsequenz, sonst könnte man es nicht beweisen.

Zitat:

Kann man das formal so hinschreiben?

Nein, finde zwei ganze Zahlen m und n so dass $\begin{eqnarray*} b - a = \frac{m}{n} \end{eqnarray*}$ ist. Nutze dafür, dass Du weißt, dass

$\begin{eqnarray*} a -b = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$

ist, für zwei Ganze Zahlen p und q.

26.10.2011, 21:17

Sparta

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Hallo!
Selbe Aufgabe hier Big Laugh

Big Laugh

Also zur selben Relation auf R mit a~b :<-> a-b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Q.
Man soll nun zeigen, ob folgende verknüpfungen auf R/~ wohldefiniert ist:
1: $\begin{eqnarray*} \left[a\right] * \left[b\right] \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} \left[a*b\right] \end{eqnarray*}$

Was ist jetzt zu zeigen? Man muss doch jetzt ein Element a' aus der ersten Äquivalenzklasse nehmen und ein b' aus der zweiten und dann gucken, ob a'+b'~[a*b]?
Also ich dachte man müsste jetzt überprüfen, ob a'*b' - a*b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Q ?
Nur wie geht es jetzt weiter (wenn das bis dahin überhaupt richtig is)?
Eigentlich müsste man doch jetzt irgendwie verwenden, dass a'-a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Q ? Kann jemand helfen?

26.10.2011, 22:22

Loser86

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Cool, hab die Aufgabe auch, sitze aber noch vor Teil a. Wie hast Du denn da Transitivität nachgewiesen?? Weiß nicht, woher ich das c nehmen soll...

26.10.2011, 23:11

Sparta

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An Loser

Big Laugh

Also ich hatte das so gemacht dass ich einfach gesagt habe wenn a-b aus Q is un b-c=d aus Q is . Dann is ja erstmal b-d=c. Und a-c is dann a-(b-d)=a-b+d. Naja un (a-b) is aus Q und d is auch aus Q, also dachte ich ist transitivität gezeigt. Meiner Meinung nach Big Laugh

Big Laugh

Ich bin übrigens noch an einer Antwort auf meine frage zwei Posts weiter oben interessiert (an die Profis hier :P )

27.10.2011, 11:15

Mazze

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Zitat:

Was ist jetzt zu zeigen? Man muss doch jetzt ein Element a' aus der ersten Äquivalenzklasse nehmen und ein b' aus der zweiten und dann gucken, ob a'+b'~[a*b]?

Ja, es ist die Unabhängigkeit des Repräsentanten zu zeigen, sprich, egal welches Element ich aus einer Äquivalenzklasse nehme, die Operation sollte stets dass gleiche Ergebnis liefern.

Zitat:

Also ich dachte man müsste jetzt überprüfen, ob a'*b' - a*b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Q ?

Ganz genau !

Zitat:

Eigentlich müsste man doch jetzt irgendwie verwenden, dass a'-a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Q ? Kann jemand helfen?

Ja, versuche mal Terme zu $\begin{eqnarray*} a'b' - ab \end{eqnarray*}$ hinzuzufügen, so dass sich nichts ändert und Klammere aus.

27.10.2011, 18:11

Sparta

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Hi Mazze !
Also das mit dem umformen hab ich versucht , nur irgendwie nix handfestes rausgekriegt? Also es gilt $\begin{eqnarray*} a'-a\in Q , b'-b\in Q , a'b'-a'b-ab'+ab \in Q , \end{eqnarray*}$
also wenn $\begin{eqnarray*} a'b'-ab \in Q \end{eqnarray*}$ müsste auch
$\begin{eqnarray*} a'b'-ab+(a'b'-a'b-ab'+ab)=a'(b'-b)+b'(a'-a)\in Q \end{eqnarray*}$ und das ist ein Widerspruch, weil $\begin{eqnarray*} a',b' \in R \end{eqnarray*}$ sein können? Is wahrscheinlich nicht das, was du meinst, denn dann hätte ich doch nich umformen müssen, oder? ...
Könnte man übrigens nicht einfach sagen, dass $\begin{eqnarray*} a=a'=\sqrt{2} , a'b'-ab=\sqrt{2}(b'-b) \end{eqnarray*}$ und das ist nicht aus Q und deshalb ist die Sache nicht wohldefiniert ?

28.10.2011, 12:41

Sparta

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Kommt schon Leute, n kurzer Kommentar, ob ich das gecheckt habe und man das so machen kann, wäre echt nice geschockt

geschockt

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