Extremwertaufgabe

25.10.2011, 21:09

MatheKind

Auf diesen Beitrag antworten »

Extremwertaufgabe

Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe, und frage mich, ob mein Ansatz richtig ist.

Einen Halbkreis vom Radius r ist das Trapez größten Flächeninhalts einzubeschreiben. Berechnen Sie die Seitenlänge und den Inhalt dieses Trapezes.

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} A_{ Halbkreis } = \frac{\pi * r^2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{ Trapez } = \frac{a+b}{2} * h = \frac{2r+b}{2} * h \end{eqnarray*}$

Um den größtmöglichsten Flächeninhalt vom Trapez innerhalb des Halbkreises zu erhalten, muss die Differenz zwischen $\begin{eqnarray*} A_{ Halbkreis } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_{ Trapez } \end{eqnarray*}$ minimal sein:

$\begin{eqnarray*} A_{min} = \frac{\pi * r^2}{2} - \frac{2r+b}{2} * h = \frac{\pi * r^2 - (2r+b) * h}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'_{min} = \frac{2\pi r - 2h }{2} = \pi r - h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'_{min} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi r - h = 0 \rightarrow r = \frac{h}{\pi} \rightarrow h = \pi r \end{eqnarray*}$

Ist der Ansatz soweit richtig?!

Danke im Voraus!

Liebe Grüße
MatheKind

25.10.2011, 22:04

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremaaufgabe
Hast du diesen Ansatz gesagt bekommen?

Ich habe einen ganz anderen Ansatz gewählt und andere Werte als Ergebnis. Bevor ich aber mehr dazu schreibe, wüsste ich halt gerne, ob dir der Weg freigestellt ist.

smile

smile

25.10.2011, 22:07

MatheKind

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, den Ansatz habe ich mir selbst ausgedacht.

Danke im Voraus für jede Hilfe!

Liebe Grüße
MatheKind

25.10.2011, 22:19

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei deinem Ergebnis ist auch problematisch, dass das h größer als r ist, also aus dem Halbkreis ragt. verwirrt

verwirrt

Ich stelle mal meinen Ansatz vor:

Zunächst habe ich mir die Aufgabe in ein Koordinatensystem gedacht und dann die Funktionsgleichung für den Halbkreis aufgestellt.
Für die Rechnung habe ich nur den ersten Quadranten betrachtet.

Wir brauchen den Punkt, wo die Ecke C des Trapezes den Graphen berührt. Dieser Punkt hat die Koordinaten (xo|f(xo).
Gleichzeitig ist die zu maximierende Fläche die des halben ursprünglichen Trapezes:
A= 1/2 ·(r + xo)·f(xo)

smile

smile

25.10.2011, 23:29

MatheKind

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das ist wirklich ein guter Ansatz! smile

smile

Mein Versuch das umzusetzen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2}(r+x) * \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A' = \frac{1}{2} * \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} * -2x * \frac{1}{2}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A' = \frac{1}{2} * \sqrt{1-x^2} - \frac{1}{2}x^2 * \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A' = \frac{\sqrt{1-x^2}}{2} - \frac{x^2}{2 \sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A' = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1-x^2}}{2} = \frac{x^2}{2 \sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^4 - 4x^2 + 2 = 0 \end{eqnarray*}$

Bevor ich weiter tippe: Ist das bis hier her richtig?!

Danke im Voraus!

L. G.
MatheKind

25.10.2011, 23:41

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal eine Frage: Warum hast du r = 1 gesetzt?

Die Rechnung wird dadurch zwar einfacher, aber ich denke, es wäre besser, wenn du für die Funktionsgleichung mit r² rechnen würdest.
Wir können das r doch nicht so festlegen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Weiterhin hast du mMn an dieser Stelle einen Fehler:

$\begin{eqnarray*} A' = \frac{1}{2} * \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} * -2x * \frac{1}{2}\color{red}x \end{eqnarray*}$

Ich habe es etwas anders gerechnet, aber ich denke, da sollte (r+x) hin. Überprüfe das besser noch mal. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anzeige

25.10.2011, 23:53

MatheKind

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sulo
Erst einmal eine Frage: Warum hast du r = 1 gesetzt?

Das ist eine gute Frage. smile

smile

Leichtsinnfehler. smile

smile

Zitat:

Ich habe es etwas anders gerechnet, aber ich denke, da sollte (r+x) hin. Überprüfe das besser noch mal. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt, wo ich darüber nachdenke, sehe ich das ein, weil r genauso eine Variable wie x ist.

Hmm, muss ich wohl nochmals ran.

Danke! smile

smile

L. G.
MatheKind

25.10.2011, 23:54

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde morgen Abend erst nach 21.00* on kommen, wenn wir die Aufgabe dann weiter besprechen wollen...

smile

smile

edit: *Vermutlich leider erst ab 21:30

26.10.2011, 00:01

MatheKind

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, kein Problem. Ich werde jetzt sowieso ins Bett gehen.

Danke!

L. G.
MatheKind

26.10.2011, 00:04

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, bis denn. Wink

Wink

26.10.2011, 20:56

MatheKind

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mache an der Stelle weiter, bei der ich gestern einen Fehler hatte:

$\begin{eqnarray*} A' = \frac{1}{2} * \sqrt{r-x^2} + \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{r-x^2}} * -2x * \frac{1}{2}*(r-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A' = \frac{1}{2} * \sqrt{r-x^2} - \frac{1}{2}x * \frac{(r-x)}{\sqrt{r-x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A' = \frac{1}{2} * (\sqrt{r-x^2} - \frac{(r-x)}{\sqrt{r-x^2}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A' = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{r-x^2} = \frac{(r-x)}{\sqrt{r-x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r-x^2 = \frac{(r-x)^2}{r-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (r-x^2)^2 = (r-x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r-x^2 = r-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x^2 = -x \end{eqnarray*}$

Kommt leider Blödsinn bei mir raus. unglücklich

unglücklich

Liebe Grüße
MatheKind

26.10.2011, 21:37

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider machst du schon beim ersten Schritt der Ableitung Fehler. Du hast meinen Vorschlag, r+x zu verwenden, nicht umgesetzt. Auch hast du nicht r² unter der Wurzel stehen.

Ich schreibe dir die richtige Ableitung mal auf:

$\begin{eqnarray*} A_r(x) = \frac{1}{2}(r+x) * \sqrt{r^2-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'_r(x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{r^2-x^2} + \frac{1}{2} \cdot (r+x)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{r^2-x^2}} \cdot (-2x) \end{eqnarray*}$

Wenn du damit weiterrechnest, solltest du auf die richtige Lösung kommen.

smile

smile

26.10.2011, 22:27

MatheKind

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} A'_r(x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{r^2-x^2} + \frac{1}{2} \cdot (r+x)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{r^2-x^2}} \cdot (-2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'_r(x) = \frac{1}{2} * \sqrt{r^2-x^2} - \frac{1}{2} * \frac{(r+x)}{\sqrt{r^2-x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'_r(x) = \frac{1}{2} * ( \sqrt{r^2-x^2} - \frac{(r+x)}{\sqrt{r^2-x^2}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'_r(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2-x^2} = \frac{(r+x)}{\sqrt{r^2-x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r^2-x^2 = \frac{(r+x)^2}{(r^2-x^2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (r^2-x^2)^2 = (r+x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (r^2-x^2) = (r+x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (r-x)*(r+x) = (r+x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r-x = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = r - 1 \end{eqnarray*}$

Die richtige Lösung wäre jedoch x = r/2. unglücklich

unglücklich

Liebe Grüße
MatheKind

26.10.2011, 22:37

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast das x vergessen.... Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A'_r(x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{r^2-x^2} + \frac{1}{2} \cdot (r+x)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{r^2-x^2}} \cdot (-2 \color{red}x \color{black}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'_r(x) = \frac{1}{2} * \sqrt{r^2-x^2} - \frac{1}{2} * \frac{ \color{red}x \color{black}(r+x)}{\sqrt{r^2-x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'_r(x) = \frac{1}{2} * ( \sqrt{r^2-x^2} - \frac{ \color{red}x \color{black}(r+x)}{\sqrt{r^2-x^2}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'_r(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2-x^2} = \frac{ \color{red}x \color{black}(r+x)}{\sqrt{r^2-x^2}} \end{eqnarray*}$

usw.

26.10.2011, 22:43

MatheKind

Auf diesen Beitrag antworten »

Achherrjeh...

$\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2-x^2} = \frac{x(r+x)}{\sqrt{r^2-x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r^2-x^2 = \frac{x^2 (r+x)^2}{(r^2-x^2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (r^2-x^2)^2 = x^2 (r+x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (r^2-x^2) = x (r+x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (r-x)*(r+x) = x (r+x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r-x = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = r/2 \end{eqnarray*}$

Der Rest ist klar, danke!!! smile

smile

Liebe Grüße
MatheKind

26.10.2011, 22:44

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »