Äquivalenzrelationen

25.10.2011, 21:12

Lunali

Äquivalenzrelationen

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} l\geq 2 \end{eqnarray*}$
eine ganze Zahl. Auf der Menge Z der ganzen Zahlen sie eine Relation ~ derart vorgegeben, dass a~b genau dann besteht, wenn a-b durch l teilbar ist.

a) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Die Menge der Äquivalenzklassen werden mit Z/lZ bezeichnet. Ist n \in Z, so bezeichne n (mit einem Strich drüber) \in Z/lZ die entsprechende Äquivalenzklasse. Zeigen Sie, dass die Definitionen a (mit einem Strich drüber)+ b(mit einem Strich drüber):= a+b (mit einem Strich drüber)und a (mit einem Strich drüber)\cdot b (mit einem Strich drüber) := ab (mit einem Strich drüber) für Addition und Multiplikation auf Z/lZ korrekt sind, das heißt unabhängig von der wahl der Repräsentanten.

c) Zeigen Sie, dass Z/2Z und Z/3Z mit den in b) definierten Operationen Körper bilden. Ist Z/4Z ebenfalls ein Körper?
Meine Ideen:
Ich hab echt absolut keine Ahnung wie ich das lösen kann. Bitte helft mir. Es ist echt wichtig!!

25.10.2011, 21:14

Mazze

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Zitat:

Ich hab echt absolut keine Ahnung wie ich das lösen kann. Bitte helft mir. Es ist echt wichtig!!

Ich glaube jedem der hier Fragen postet ist die Lösung wichtig. Was dier Aufgabe angeht :

a) Eine Relation R heißt Äquvalenzrelation , wenn sie 3 Eigenschaften erfüllt. Schaue nach was diese Eigenschaften sind, und beweise sie.

26.10.2011, 19:25

sunsurfer428

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Ja, klar... die drei eigenschaften sind reflexiv, transitiv und symmetrisch.

so wie ich das verstehe müsste dann gelten:

1.) a~a => l|a (l teilt a oder $\begin{eqnarray*} \frac {a}{l} \end{eqnarray*}$ )

2.) a~b<=> b~a also l|a-b und l|b-a oder $\begin{eqnarray*} \frac {a-b}{l} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac {b-a}{l} \end{eqnarray*}$ ist beides korrekt

3.) [a~b und a~c => b~c, also wenn l|a-b teilt und l|a-c, dann auch l|b-c

wenn das so richtig ist, gut. Meine Frage ist nur, wie ich das beweise. und davon hab ich nicht mal ansatzweise ne ahnung

26.10.2011, 21:01

Mazze

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Zitat:

so wie ich das verstehe müsste dann gelten: 1.) a~a => l|a (l teilt a oder $\begin{eqnarray*} \frac {a}{l} \end{eqnarray*}$ )

Deine Relation ist aber beschrieben durch eine Differenz, a - b , im Falle der Reflexivität also a - a, gilt denn l | a - a ?

Zitat:

2.) a~b<=> b~a also l|a-b und l|b-a oder $\begin{eqnarray*} \frac {a-b}{l} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac {b-a}{l} \end{eqnarray*}$ ist beides korrekt

Das ist zu zeigen, ja !

Zitat:

3.) [a~b und a~c => b~c, also wenn l|a-b teilt und l|a-c, dann auch l|b-c

Das ist nicht richtig, schau Dir nochmal die Definition an!

26.10.2011, 22:10

sunsurfer428

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Zitat:

Original von Mazze
Deine Relation ist aber beschrieben durch eine Differenz, a - b , im Falle der Reflexivität also a - a, gilt denn l | a - a ?

hmm... a-a ist ja in jedem fall 0... gilt das denn als mögliche Teilung, wenn es 0/l ist? Ich geh mal davon aus, da man ja zeigen soll, dass die Relation eine Äqui.relation ist... womit ja damit schonmal die Refelxivität bewiesen wäre

Zitat:

Original von Mazze
Das ist zu zeigen, ja !

sry, aber wenn ich schreibe:

Zitat:

Meine Frage ist nur, wie ich das beweise. und davon hab ich nicht mal ansatzweise ne ahnung

, dann hilft mir das nicht wirklich weiter.
ich könnte da ein bisschen argumentieren, dass es ja auf Z egal ist, ob etwas positives oder negatives teilbar ist (z.B.: 5-3 durch 2 teilbar oder 3-5 durch 2 teilbar), aber wie ich das in der richtigen schreibweise aufschreibe ist mir ein völliges rätsel.

Zitat:

Das ist nicht richtig, schau Dir nochmal die Definition an!

hmm...defintion ist doch a~b und b~c => a~c oder?

also l|a-b und l|b-c => l|a-c ?
ok, angenommen das stimmt, bringt mich das im Beweis nicht wirklich weiter.
da ich ja keine Gleichung oder Ungleichung habe, kann ich ja auch irgendwie nichts vergleichen, oder?

26.10.2011, 23:21

Mazze

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Zitat:

Normalerweise notiert man :

a teilt b <=> a|b

d.h wir wollen wissen ob l|0 gilt :

Es gilt $\begin{eqnarray*} a|b \end{eqnarray*}$ genau dann wenn es eine ganze Zahl n gibt mit $\begin{eqnarray*} b = an \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} l | 0 \end{eqnarray*}$ gelten soll, muss es also eine Ganze Zahl n geben mit

0 = n*l

, gibt es diese Ganze Zahl n ?

Symmetrie :

Wir wissen dass a - b durch l teilbar ist, es gibt also eine ganze Zahl n mit a - b = n*l. Bis hier hin habe ich nicht nachgedacht, ich habe lediglich aufgeschrieben was gegeben ist. Jetzt schreibe ich auf was wir suchen : Wir suchen eine ganze Zahl m, so dass b - a = m * l . Bis hierhin hab ich auch noch keine kreative Arbeit geleistet, nur sauber aufgeschrieben. Wie könnte diese Zahl m wohl aussehen ? Als Tip : Die Zahl m hat was mit dem n zu tun.

Zitat:

ok, angenommen das stimmt, bringt mich das im Beweis nicht wirklich weiter.

Allein die Tatsache zu wissen, was zu zeigen ist, bringt dich erheblich weiter als zu versuchen, etwas zu beweisen, was du garnicht beweisen sollst. Und auch hier, schreibe exakt auf was

l | a -b und l| b - c

bedeutet. Dann schreibe auf was l | a -c bedeutet, und versuche mit obigen Voraussetzungen einen beweis zu finden.

27.10.2011, 00:17

sunsurfer428

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Zitat:

Original von Mazze

Normalerweise notiert man :

a teilt b <=> a|b

d.h wir wollen wissen ob l|0 gilt :

Es gilt $\begin{eqnarray*} a|b \end{eqnarray*}$ genau dann wenn es eine ganze Zahl n gibt mit $\begin{eqnarray*} b = an \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} l | 0 \end{eqnarray*}$ gelten soll, muss es also eine Ganze Zahl n geben mit

0 = n*l

, gibt es diese Ganze Zahl n ?

Da 0 zu den ganzen Zahlen gehört ist logischer Weise 0=n*l mit n=0. Also teilt l 0. Klasse.

Zitat:

Original von Mazze
Symmetrie :

Wir wissen dass a - b durch l teilbar ist, es gibt also eine ganze Zahl n mit a - b = n*l. Bis hier hin habe ich nicht nachgedacht, ich habe lediglich aufgeschrieben was gegeben ist. Jetzt schreibe ich auf was wir suchen : Wir suchen eine ganze Zahl m, so dass b - a = m * l . Bis hierhin hab ich auch noch keine kreative Arbeit geleistet, nur sauber aufgeschrieben. Wie könnte diese Zahl m wohl aussehen ? Als Tip : Die Zahl m hat was mit dem n zu tun.

ok. wie wärs damit:
$\begin{eqnarray*} a-b=n*l a=b+n*l b-a=m*l b-b-n*l=m*l -n*l=m*l \end{eqnarray*}$
womit klar wäre, dass es symmetrisch ist, da sich in umgekehrter Reihenfolge nur das Vorzeichen ändert. Reicht das so schon? Stimmt das überhaupt? Augenzwinkern

Zitat:

Ok. dann versuch ichs mal wie oben...
$\begin{eqnarray*} a-b=n*l b-c=m*l a-c=o*l a=b+nl b=c+ml a=c+ol =b+nl =c+nl+ml <=>a-c=nl+ml \end{eqnarray*}$
wobei letzteres ja auch wieder nur ein Vielfaches von l ist. also dürfte das so stimmig sein (hoff ich Augenzwinkern

)

Herzlichen Dank auf jeden Fall schonmal. Sich eindach mal aufzuschreiben was l|a-b u.ä. heißt macht das ja so viel klarer smile

27.10.2011, 09:22

Mazze

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Zitat:

Reicht das so schon? Stimmt das überhaupt?

Ja stimmt, Du machst es Dir nur reichlich kompliziert :

$\begin{eqnarray*} b - a = -(a - b) = -ml \end{eqnarray*}$

damit die die Relation symmetrisch.

Zitat:

also dürfte das so stimmig sein

Ja ist es, aber ist auch wieder reichlich kompliziert :

$\begin{eqnarray*} a - c = a - b + b - c = nl + ml = (n + m)l \end{eqnarray*}$

Damit ist die Relation transitiv.

Zitat:

erzlichen Dank auf jeden Fall schonmal. Sich eindach mal aufzuschreiben was l|a-b u.ä. heißt macht das ja so viel klarer

Das ist einer der Grundsätze die es am Anfang zu verstehen gilt. Erst wenn Du weiß wo Du bist (welche Voraussetzunges es gibt und was sie exakt bedeuten) und wenn Du weißt wo Du hinwillst (was ist zu zeigen?) kannst Du einen Weg zwischen beidem finden.

27.10.2011, 15:13

sunsurfer428

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ok, das war allerding nur a)...c) raff ich glaub ich halbwegs aber mit b) hab ich meine Probleme

Zitat:

b) Die Menge der Äquivalenzklassen werden mit Z/lZ bezeichnet. Ist n \in Z, so bezeichne n (mit einem Strich drüber) \in Z/lZ die entsprechende Äquivalenzklasse. Zeigen Sie, dass die Definitionen a (quer)+ b(quer):= a+b (quer)und a (quer)\cdot b (quer) := ab (quer) für Addition und Multiplikation auf Z/lZ korrekt sind, das heißt unabhängig von der wahl der Repräsentanten.

Bei Z/lZ geht es doch um Teilen mit Rest, oder? Also von 0 bis l-1 und l ist dann wieder die gleiche Klasse wie 0. Ok. Und ich soll jetzt zeigen, dass die Rechenregeln, wie sie auf Z gelten auch für Z/lZ gelten? Aber wie mach ich das?

Einen Ansatz hab ich, den ich aber auch nicht verstehe:

a(quer) + b(quer):= a+b (quer)
a'~a, b~b'
a'+b'~a+b

a'~a -> l|a-a'
b~b' -> l|b'-b

a'+b'~a+b => Aber a'+b' - (a+b) <=> a'-a + b'-b
Da l|a'-a + b'-b
=> a'+b'~a+b

also wie gesagt, ich versteh das noch nicht. wenn ich's verstehen würde ist das mit der Multiplikation wahrscheinlich nicht mehr so das drama...

27.10.2011, 16:25

Mazze

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Zitat:

Bei Z/lZ geht es doch um Teilen mit Rest, oder?

Im Prinzip schon, nur wissen wir an dieser Stelle nichts davon. Wir haben eine Äquivalenzrelation und bezüglich dieser können wir Äquivalenzklassen bestimmen. Die Menge der Äquivalenzklassen nennen wir dann

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \setminus {l\mathbb{Z}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und ich soll jetzt zeigen, dass die Rechenregeln, wie sie auf Z gelten auch für Z/lZ gelten?

Genauer, eine Ihr Schreibt ja $\begin{eqnarray*} \overline{n} \end{eqnarray*}$ für eine Äquivalenzklasse. Eine Äquivalenzklasse ist eine Menge, deren Elemente alle Äquivalent bezüglich der Relation R sind.

Als Beispiel :

$\begin{eqnarray*} \overline{2} = \{2,l + 2,-l + 2, 2l + 2,-2l + 2,..., \} \end{eqnarray*}$

Jetzt können wir eine Äquivalenzklasse durch einen Repräsentanten beschreiben, in diesem Fall 2, man könnte aber auch l + 2 als Repräentanten wählen, denn es ist ja

$\begin{eqnarray*} \overline{2} = \overline{l + 2} \end{eqnarray*}$

Du sollst jetzt beweisen, dass die definierten Operationen unabhängig von der Wahl des Repräsentanten sind. Das heißt, egal welches Element ich aus der Äquivalenzklasse nehme, es soll immer das gleiche Ergebnis herauskommen. Und das machst Du auch richtig :

Zitat:

a'+b'~a+b

Das ist zu zeigen und mit

Zitat:

a'+b' - (a+b) <=> a'-a + b'-b

Ist auch alles gezeigt.

28.10.2011, 13:21

Matheversteher

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Hallo ihr beiden Wink

also ich saß auch an dieser aufgabe und habe die b nicht so wirklich verstanden glaube ich.

Zitat:

Zitat von sunsurfer428
Einen Ansatz hab ich, den ich aber auch nicht verstehe: a(quer) + b(quer):= a+b (quer) a'~a, b~b' a'+b'~a+b a'~a -> l|a-a' b~b' -> l|b'-b a'+b'~a+b => Aber a'+b' - (a+b) <=> a'-a + b'-b Da l|a'-a + b'-b => a'+b'~a+b

Mazze könntest du mir evtl noch mal erklären was ich hier machen muss?

Alles was ich weis ich, dass ich die Körperaxiome beweisen soll für Z | lZ.

das heißt ich muss zeigen, dass es sowohl für Multiplikation und Addition in inverses und neutrales Element gibt.
a+x=a und a*y=a (neutrales Element)

a+x=o und a*y=o (inverses Element)

außerdem muss ich noch das Distributivgesetz zeigen.
also sowirklich habe ich jetzt nicht verstanden wie ich hier anfangen muss mit meinem Beweis.

Fände es toll von dir wenn du mir das nochmal erklären würdest smile

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