Vektorraum

25.10.2011, 21:47	Maximan	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum Hallo, ich hab hier bei zwei Teilmengen des $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ versucht herauszufinden, ob sie einen Vektorraum darstellen, bin mir aber bei meinen Ergebnissen nicht sicher. 1.) $\begin{eqnarray} A=\left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},x_1x_2=0\right\} \end{eqnarray}$ Mein Lösungsansatz: $\begin{eqnarray} \vec{a}=\begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{b}=\begin{pmatrix} b \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix} a+b \\ 0 \end{pmatrix} \in A \end{eqnarray}$ 2.) $\begin{eqnarray} B=\left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},\| x_1 \|=\| x_2 \|\right\} \end{eqnarray}$ Mein Lösungsansatz: $\begin{eqnarray} \vec{a}=\begin{pmatrix} \| a \| \\ \| a \| \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{b}=\begin{pmatrix} \| b \| \\ \| b \| \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix} \| a \|+\| b \| \\ \| a \|+\| b \| \end{pmatrix} \in B \end{eqnarray}$ Ich hab jeweils nur dieses erste Kriterium $\begin{eqnarray} \vec{a} +\vec{b} \end{eqnarray*}$ angegeben, da ich mir bei diesem sehr unsicher bin. Für Bestätigung oder Hinweise auf Fehler wäre ich sehr dankbar LG Maximan
25.10.2011, 22:24	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, du hast dir bei A zwei ganz spezielle Vektoren rausgesucht. Ist auch in Ordnung, aber damit kannst du nicht nachweisen, dass A ein VR ist. Was ist mit dem Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , den berücksichtigst du damit nicht. Nimm dir wirklich zwei ganz allgemeine Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a}=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b}=\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Du weißt über sie, dass $\begin{eqnarray} a_1 \cdot a_2 = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_1 \cdot b_2 = 0 \end{eqnarray}$ gilt. Addiere die Vektoren nun und versuche zu zeigen, dass auch die Summe in A liegt. Was musst du dazu zeigen? Dass die erste Komponente mal die zweite Null ergibt. Oder suche nach zwei Vektoren, die in A liegen, deren Summe aber nicht. Probier mal ein wenig rum. Edit: OK, ich gebe dir noch einen Tipp mit: A ist kein VR. Suche also nach zwei einfachen Vekotoren, wo die Summenbildung schief geht.
25.10.2011, 23:34	Maximan	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Vektoren, die jeweils in A liegen aber addiert nicht mehr in A liegen werden, sind z.B. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da wir Vektorräume aber allgemein beweisen sollen, habe ich mir Folgendes überlegt: $\begin{eqnarray} \vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix} a_1+b_1 \\a_2+b_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a_1+b_1)(a_2+b_2)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow (a_1+b_1)=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} (a_2+b_2)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow a_1=-b_1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} a_2=-b_2 \end{eqnarray}$ Wenn nun $\begin{eqnarray} a_1\neq -b_1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} a_2\neq -b_2 \end{eqnarray*}$ ist, ist die Teilmenge nicht aus A
26.10.2011, 21:18	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Aber bereits die Angabe dieser beiden Vektoren ist ein mustergültiger Beweis. Es muss für alle gelten und du gibst welche an, für die es nicht gilt. Das reicht vollkommen aus. Wie sieht es mit der Menge B aus?
26.10.2011, 23:57	Maximan	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ hab ich mir jetzt zunächst nocheinmal Beträge angeschaut: $\begin{eqnarray} \| x \|=\begin{pmatrix} x; x\geq 0 \\ -x; x\leq 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ würde das Folgendes bedeuten: $\begin{eqnarray} \vec{a} +\vec{b}=\begin{pmatrix} \| a_1 \|+\| b_1 \| \\ \| a_2 \|+\| b_2 \| \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann gäbe es zur weiteren Auflösung verschiedene Möglichkeiten, wobei Folgende nicht wieder ein Ergebnis aus $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ liefert: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a-b \\ -a-b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zwei Vektoren, die beweisen würden, dass $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ kein Vektorraum ist: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -5 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
27.10.2011, 10:57	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau! Deine zwei Vektoren am Ende sind ein gutes Gegenbeispiel. Merk dir das am besten so: Wenn du beweisen sollst, dass eine Menge ein Vektorraum ist, dann musst du es allgemein machen, du musst die Eigenschaften für alle Vektoren der Menge zeigen. Wenn du beweisen sollst (oder es vermutest), dass eine Menge kein Vektorraum ist, dann suche nach zwei Vektoren, deren Summe nicht in der Menge ist (oder der gestreckte Vektor, das ist ja die zweite Eigenschaft). Ganz dankbare Mengen sind solche, in der die Null nicht drinliegt.
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27.10.2011, 11:46	Maximan	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar...das werd ich mir mal als Regel in mein Matheheft schreiben Vielen Dank für deine Hilfe!

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