Gesetz einer Fibonacci-Folge (Induktion)

25.10.2011, 23:05

portfreak

Auf diesen Beitrag antworten »

Gesetz einer Fibonacci-Folge (Induktion)

Die Aufgabe ist wiedermal im anhang!

die Gleichung lautet:

Induktionsvorraussetzung ist
$\begin{eqnarray*} f_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} (\frac{1+\sqrt{5} }{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5} }{2})^n \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang ist
$\begin{eqnarray*} f_1 = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} (\frac{1+\sqrt{5} }{2})^1-(\frac{1-\sqrt{5} }{2})^1 \\ \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2 = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} (\frac{1+\sqrt{5} }{2})^2-(\frac{1-\sqrt{5} }{2})^2 \\ \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt ist
$\begin{eqnarray*} f_{(n+1)+1} = f_{n+1}+f_{(n+1)-1)} \Leftrightarrow f_{n+2} = f_{n+1}+f_{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$

Zuerst habe ich die inneren Terme substituiert:
$\begin{eqnarray*} (\frac{1+\sqrt{5} }{2}) = k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\frac{1-\sqrt{5} }{2}) = j \end{eqnarray*}$

Nun geht es zur eigentlichen Rechnung:

$\begin{eqnarray*} f_{(n+1)+1} = f_{n+1}+f_{(n+1)-1)} \Leftrightarrow f_{n+2} = f_{n+1}+f_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{5}} (k^{n+2}-j^{n+2})= \frac{1}{\sqrt{5}} (k^{n+1}-j^{n+1}) + \frac{1}{\sqrt{5}} (k^{n}-j^{n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{5}} (k^{n+1}-j^{n+1}) + \frac{1}{\sqrt{5}} (k^{n}-j^{n}) = \frac{1}{\sqrt{5}} (k^{n+1}-j^{n+1}) + \frac{1}{\sqrt{5}} (k^{n}-j^{n}) \end{eqnarray*}$

Also wenn das nicht falsch ist... weil das wäre ja viel zu einfach aber auf einen anderen Weg komme ich gerade nicht... unglücklich

unglücklich

25.10.2011, 23:59

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

also du nimmst zuerst an, dass die gleichung für $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{n+1} \end{eqnarray*}$ stimmt. nun sollst du zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} f_{n+2} = \frac{2}{\sqrt{5}} \left(\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2}- \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} \right) \end{eqnarray*}$

dazu nimmst du die definition

$\begin{eqnarray*} f_{n+2} = f_{n+1} + f_n \end{eqnarray*}$

hier darfst du natürlich nur $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{n+1} \end{eqnarray*}$ mit der formel umschreiben.

29.10.2011, 22:37

Howdo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wetal
$\begin{eqnarray*} f_{n+2} = f_{n+1} + f_n \end{eqnarray*}$

hier darfst du natürlich nur $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{n+1} \end{eqnarray*}$ mit der formel umschreiben.

Damit ich dass auch richtig verstehe, sol man nun dies zeigen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+2}- \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right)^{n+2} \right) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+1}- \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right)^{n+1} \right) + \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n}- \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right)^{n} \right) \end{eqnarray*}$

smile

smile

?

29.10.2011, 23:22

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

jup

30.10.2011, 00:22

Howdo

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Habe nun auch soweit umgefomt, dass ich folgendes raus habe:

$\begin{eqnarray*} \frac { (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n *(\frac{3+\sqrt{5}}{2}) - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n * (\frac{3-\sqrt{5}}{2})}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

Ein schritt fehlt mir, ich weiß auch genau welcher, aber mir happerts am verstehen dieses Schrittes:

In einigen Beiträgen im Netz ist $\begin{eqnarray*} (\frac{3+\sqrt{5}}{2}) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} (1+ \frac{1+\sqrt{5}}{2}) \end{eqnarray*}$ gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 \end{eqnarray*}$

nur... warum???
kann mir dass einfach nicht erschließen...

30.10.2011, 08:04

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

erkläre mir bitte wie man von einer gleichung durch äquivalente umformungen auf eine nicht-gleichung kommt ^^

du solltest deinen eigenen tipp beachten und die terme mit $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ umschreiben. dann sollst du folgende gleichung zeigen.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{5}} (k^{n+2}-j^{n+2}) = \frac{1}{\sqrt{5}} (k^{n+1}-j^{n+1}) + \frac{1}{\sqrt{5}} (k^{n}-j^{n}) \end{eqnarray*}$

nun kann man erstmal mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

$\begin{eqnarray*} k^{n+2}-j^{n+2} = k^{n+1}-j^{n+1}+ k^{n}-j^{n} = (k^{n+1} + k^n) - (j^{n+1} + j^n) \end{eqnarray*}$

ach wäre das doch toll, wenn

$\begin{eqnarray*} k^{n+2} = k^{n+1} + k^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j^{n+2} = j^{n+1} + j^n \end{eqnarray*}$

wäre, oder? vllt kannst du das ja zeigen..

Anzeige

30.10.2011, 15:21

CSuey

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wetal

ach wäre das doch toll, wenn

$\begin{eqnarray*} k^{n+2} = k^{n+1} + k^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j^{n+2} = j^{n+1} + j^n \end{eqnarray*}$

wäre, oder? vllt kannst du das ja zeigen..

Hey ich hänge bei der gleichen Aufgabe genau da fest und weiß leider nicht wie ich das zeigen kann, kann mir vielleicht jemand einen kleinen Stoß in die richtige Richtung geben?

30.10.2011, 15:57

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

fang doch damit an, jeweils durch $\begin{eqnarray*} k^{n} \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} j^n \end{eqnarray*}$ zu teilen...

30.10.2011, 16:04

CSuey

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wetal
fang doch damit an, jeweils durch $\begin{eqnarray*} k^{n} \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} j^n \end{eqnarray*}$ zu teilen...

Aber bekomm ich dann nicht $\begin{eqnarray*} k^{2} \end{eqnarray*}$ =/= k+1 (analog j)?

30.10.2011, 16:12

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

warum? den beweis (für $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ ) würde ich gerne sehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.10.2011, 16:28

CSuey

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wetal
warum? den beweis (für $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ ) würde ich gerne sehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Okay aber dann hätte ich ja
$\begin{eqnarray*} k^{2} \end{eqnarray*}$ = k+1 und
$\begin{eqnarray*} j^{2} \end{eqnarray*}$ = j+1

aber inwiefern hätte ich dann etwas bewiesen? Das die Induktion genau dann gilt wenn die beiden Gleichungen oben stimmen? Sorry aber bin da echt verwirrt gerade.

30.10.2011, 16:39

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

naja. wenn das gilt, dann gilt auch

$\begin{eqnarray*} k^{n+2} = k^{n+1} + k^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j^{n+2} = j^{n+1} + j^n \end{eqnarray*}$

damit gilt auch

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{5}}(k^{n+2} - j^{n+2}) =\frac{1}{\sqrt{5}}( k^{n+1}- j^{n+1}) + \frac{1}{\sqrt{5}}(k^n - j^n) \end{eqnarray*}$

für den induktionsschritt war zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} f_{n+2} =\frac{1}{\sqrt{5}}(k^{n+2} - j^{n+2}) \end{eqnarray*}$

und das gilt dann auch, weil nach voraussetzung $\begin{eqnarray*} f_{n+2}= f_{n+1} + f_n \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f_{n+1} + f_n =\frac{1}{\sqrt{5}}( k^{n+1}- j^{n+1}) + \frac{1}{\sqrt{5}}(k^n - j^n) \end{eqnarray*}$ ist.

30.10.2011, 16:53

CSuey

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wetal
naja. wenn das gilt, dann gilt auch

$\begin{eqnarray*} k^{n+2} = k^{n+1} + k^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j^{n+2} = j^{n+1} + j^n \end{eqnarray*}$

damit gilt auch

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{5}}(k^{n+2} - j^{n+2}) =\frac{1}{\sqrt{5}}( k^{n+1}- j^{n+1}) + \frac{1}{\sqrt{5}}(k^n - j^n) \end{eqnarray*}$

für den induktionsschritt war zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} f_{n+2} =\frac{1}{\sqrt{5}}(k^{n+2} - j^{n+2}) \end{eqnarray*}$

und das gilt dann auch, weil nach voraussetzung $\begin{eqnarray*} f_{n+2}= f_{n+1} + f_n \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f_{n+1} + f_n =\frac{1}{\sqrt{5}}( k^{n+1}- j^{n+1}) + \frac{1}{\sqrt{5}}(k^n - j^n) \end{eqnarray*}$ ist.

Ahhh da hab ich ja schön auf dem Schlauch gestanden, danke dir für deine Mühe und Geduld mit mir Freude

Freude

01.11.2011, 19:11

Nala2802

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ihr lieben smile

smile

habe die gleiche aufgabe bekommen und durch zufall eure diskussion gefunden... hänge auch ein bisschen. So weit ist ja alles gut erklärt, aber k^2=k+1 ....häh? Fühle mich ein bisschen an Pipi mit 3 mal 3 macht 6 erinnert Big Laugh

Big Laugh

Wär schön wenn mich auch jemand von meinem schlauch runterholen könnte!
Danke!

01.11.2011, 19:15

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

was genau ist dir unklar? beachte, dass wir im ersten post k als

$\begin{eqnarray*} k:= \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right) \end{eqnarray*}$

definiert haben, um die ganze vorüberlegung zu erleichtern.

01.11.2011, 19:24

Nala2802

Auf diesen Beitrag antworten »

na aber k^2 ist doch garnicht = k+1...

01.11.2011, 19:36

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

aha. die rechnung möchte ich jetzt aba gerne sehen ^^

01.11.2011, 20:10

Nala2802

Auf diesen Beitrag antworten »

oh... ups

Big Laugh

:P danke für die geduld Big Laugh

Big Laugh

meine Aufgabe geht hier aber noch weiter...:
Beweisen sie mit der gewonnenen Darstellung (Fn), dass

lim (n nach unendlich) F(n+1)/F(n) = 1+ wurzel5 / 2

(der "goldene schnitt")

Benutzen Sie hierzu, dass für alle a e (-1,1) Teilmenge von R gilt

lim (n nach unendlich) a^n=0

Da weiß ich leider garnicht wo ich anfangen soll... denkanstöße?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »