Konsistenz eines Schätzers

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Konsistenz eines Schätzers
X1,...,Xn sei eine Stichprobe des n-fachen Produkmodells (R^n,B(R^n),Q) mit Dichte

für -1<x<1
sonst

wobei -1<'teta'<1 gilt. Bestimmen Sie einen konsistenten Schätzer für 'teta'.

Wie gehe ich an diese Aufgabe ran? Ich habe keine Ahnung, wie ich einen konsistenten Schätzer konstruiere.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt denn Konsistenz? Kurz gesagt, stochastische Konvergenz gegen den Parameterwert .

Einfachste Möglichkeit ist die Betrachtung irgendwelcher Mittelwertschätzer mit irgendeinem Funktional . Dann besagt nämlich das (schwache) Gesetz der großen Zahlen, dass gilt. Jetzt gilt es nur noch ein passendes zu finden, was linear in ist...

Der naheliegende Versuch ist sicher : Dann ist



Prima, schon gefunden. Also ist ein konsistenter Schätzer für . Der Rest dürfte wohl klar sein.


P.S.: Die Konstruktion konsistenter Schätzer ist durchaus nicht eindeutig, es gibt eine Vielzahl von Varianten. Die obige ist vielleicht die naheliegendste, aber wie gesagt nicht die einzig mögliche. Da muss man ein wenig probieren, hilft alles nichts. Augenzwinkern
Fragender Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, vielen Dank für die ausführliche Antwort. Das ist wirkich eine super Strategie. Jetzt verstehe ich das Ganze etwas besser.

Wir haben grade erst mit Statistik angefangen und ich muss sagen, das fällt mir schon ziemlich schwer. Das Prinzip hab ich meistens jetzt schon verstanden, aber wie man es anwendet lernt man durch das Skript überhaupt nicht. Hab mich jetzt durch einige Statistik-Sites gekämpft um alles etwas besser zu verstehen.

Wo ich noch Probleme habe ist bei der Momentenmethode. Wir haben folgende Aufgabe:

http://www-m5.ma.tum.de/teach/ws0607/sto...1/ueb/ueb10.pdf
(Aufgabe 10.2)

Mit der Erklärung vom Skript bin ich gar nicht klar gekommen. Ich hab nun folgende Seite mit Beispielen gefunden: Hier

Beispiel 6.6 ist ähnlich zu meiner Aufgabe, aber ich blicke leider trotzdem noch nicht so ganz durch.

Wie soll ich bei so einer Aufgabe vorgehen?
Vielleicht folgendermaßen:
- Transformieren via logarithmus
- nach teta ableiten
- damit die Momente bestimmen
- zum Momentenschätzer umwandeln

Vielen Dank!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft dir die Aussage, dass der Schätzer, den ich oben konstruiert habe, ebenfalls ein Momentenschätzer ist, weil er auf basiert.

Bei Aufgabe 10.2 machst du es genauso, bestimmst also erstmal den Erwartungswert der Verteilung. Dabei kannst du dich entweder mit dem zugehörigen Integral abquälen, oder du erkennst, dass es sich bei dieser gegebenen Dichte um eine spezielle Gammaverteilungsdichte handelt - dann kannst du den Erwartungswert direkt ablesen (aus der Wikipedia oder aus einer anderen Tabelle mit Kenngrößen gängiger Verteilungen).
Fragender Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, also der Erwartungswert der Verteilung ist teta, also ist der Mittelwertschätzer (oder empirische Mittel) der Momentenschätzer für teta, oder? Was soll einem der Hinweis bei der Angabe bringen?

Welche Strategie ist allgemein zu empfehlen, wenn man Momentenschätzer sucht?

Mein neuer Versuch:
Man hat eine W.dichte gegeben und bestimmt zunächst den Erwartungswert (gegebenenfalls auch Varianz) der Verteilung, welcher von dem unbekannten Parameter abhängt. Durch umformen stellt man den unbekannten Parameter als Funktion von Erwartungswert und Varianz (weitere Momente kommen in der Regel nicht vor, oder?) dar. Für EW und Varianz setzt man nun entsprechende Summen (siehe wiki) ein und man hat den Momentenschätzer. Hab ich das jetzt so richtig verstanden?

Vielen Dank für deine Hilfe. Das bringt mir wirklich sehr viel. So allein vor den Formeln zu sitzen hilft überhaupt nichts.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fragender
Mein neuer Versuch:
Man hat eine W.dichte gegeben und bestimmt zunächst den Erwartungswert (gegebenenfalls auch Varianz) der Verteilung, welcher von dem unbekannten Parameter abhängt. Durch umformen stellt man den unbekannten Parameter als Funktion von Erwartungswert und Varianz (weitere Momente kommen in der Regel nicht vor, oder?) dar. Für EW und Varianz setzt man nun entsprechende Summen (siehe wiki) ein und man hat den Momentenschätzer. Hab ich das jetzt so richtig verstanden?

Im Grunde genommen ja. Allerdings gibt es nicht den Momentenschätzer, sondern i.a. die Momentenschätzer.

Ein Beispiel: Exponentialverteilung .

Da ist sowie .

Mögliche Momentenschätzer sind nun



oder aber auf dem zweiten Moment basierend



Beides sind Momentenschätzer! Beide sind auch konsistent, allerdings sind beide nicht erwartungstreu. Verantwortlich für letzteres ist die Reziprokbildung (im zweiten Fall auch noch die Wurzelbildung), diese nichtlinearen Operationen zerstören i.a. die Erwartungstreue.
 
 
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