Dreiecksungleichung im Beweis einer Metrik

26.10.2011, 10:23

WaechterT

Dreiecksungleichung im Beweis einer Metrik

Meine Frage:
Sei n aus lN und
$\begin{eqnarray*} d: & \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_{\geq 0} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (x,y) \mapsto \max \big\{ |x_j - y_j| : j \in \{1,...,n\} \big\} \end{eqnarray*}$

Aufgabe ist, zu zeigen, dass d eine Metrik ist. Symmetrie und $\begin{eqnarray*} x=y \Leftrightarrow d(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ sind erledigt. Jetzt gibt es also nur noch die Dreiecksungleichung zu zeigen, bei welcher ich etwas hänge.

Meine Ideen:
Seien $\begin{eqnarray*} x,y,z \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich jetzt ansetze
$\begin{eqnarray*} d(x,z) + d(z,y) = \max \big\{ |x_i - z_i| \big\} + \max \big\{ |z_j - y_j| \big\} \end{eqnarray*}$
Stehe ich vor einem Problem, das ich dadurch verdeutlicht habe, dass ich in den Klammern verschiedene Indizes habe:

Die Komponente mit der größten Differenz zwischen x und z muss nicht zwangsläufig die Komponente mit der größten Differenz zwischen z und y sein, also kann ich nicht so ohne weiteres die Dreiecksungleichung für reelle Zahlen benutzen. Ich kann auch nicht einfach die Summe in die Klammer der Maxima ziehen.

Aus demselben Grund kann ich auch nicht ausgehend von $\begin{eqnarray*} \max \big\{ |x_j - y_j| \big\} \end{eqnarray*}$ eine geschickte Nullkonstruktion machen.

Jetzt frage ich mich, welcher Denkansatz mir gerade fehlt. Woher weiß ich, dass nicht
$\begin{eqnarray*} d(x,z) = 5 \end{eqnarray*}$ aus Komponente 7 und $\begin{eqnarray*} d(z,y) = 1 \end{eqnarray*}$ aus Komponente 3, aber $\begin{eqnarray*} d(x,y) = 9 \end{eqnarray*}$ aus Komponente 4?

26.10.2011, 10:50

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dreiecksungleichung im Beweis einer Metrik

Zitat:

Original von WaechterT
Aus demselben Grund kann ich auch nicht ausgehend von $\begin{eqnarray*} \max \big\{ |x_j - y_j| \big\} \end{eqnarray*}$ eine geschickte Nullkonstruktion machen.

Schauen wir doch mal. Es ist:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{max}_{j=1,...,n} \big\{ |x_j - y_j| \big\} = \underbrace{max}_{j=1,...,n} \big\{ |x_j - z_j + z_j - y_j| \big\} \leq \underbrace{max}_{j=1,...,n} \big\{ |x_j - z_j| +| z_j - y_j| \big\} \leq \underbrace{max}_{j=1,...,n} \big\{ |x_j - y_j| \big\} + \underbrace{max}_{j=1,...,n} \big\{ |y_j - z_j| \big\} \end{eqnarray*}$

Und das wär's doch schon. Augenzwinkern

26.10.2011, 11:04

WaechterT

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dreiecksungleichung im Beweis einer Metrik
Ja, soweit hatte ich schon gedacht. Aber folgt daraus, dass ich zeige dass für die Komponente i aus allen j die Dreiecksungleichung erfüllt ist auch, dass es für die getrennten Maxima erfüllt ist? Also...

$\begin{eqnarray*} \underbrace{ \underbrace{max}_{j=1,...,n} \big\{ |x_j - y_j| \big\} = \underbrace{max}_{j=1,...,n} \big\{ |x_j - z_j + z_j - y_j| \big\} \leq \underbrace{max}_{j=1,...,n} \big\{ |x_j - z_j| +| z_j - y_j| \big\} }_{\mbox{festes }j} \leq \underbrace{ \underbrace{max}_{j=1,...,n} \big\{ |x_j - y_j| \big\} + \underbrace{max}_{j=1,...,n} \big\{ |y_j - z_j| \big\} }_{\mbox{evtl. verschiedene }j} \end{eqnarray*}$

Oder mache ich mir gerade zuviele Gedanken?

Edit: Also... mit anderen Worten, wer sagt mir, dass obwohl es für eine einzelne Komponente gilt es auch klar ist, dass die größte Differenz einer Komponente kleinergleich den beiden größten Differenzen von vielleicht verschiedenen Komponenten ist?

26.10.2011, 11:16

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dreiecksungleichung im Beweis einer Metrik
OK, dann machen wir noch einen Zwischenschritt. Wir definieren: $\begin{eqnarray*} M := \underbrace{max}_{j=1,...,n} \big\{ |x_j - y_j| \big\} \end{eqnarray*}$

Dann ist:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{max}_{j=1,...,n} \big\{ |x_j - z_j| + | z_j - y_j| \big\} \leq \underbrace{max}_{j=1,...,n} \big\{ M + | z_j - y_j| \big\} = M + \underbrace{max}_{j=1,...,n} \big\{ | z_j - y_j| \big\} = \underbrace{max}_{j=1,...,n} \big\{ |x_j - y_j| \big\} + \underbrace{max}_{j=1,...,n} \big\{ |y_j - z_j| \big\} \end{eqnarray*}$

26.10.2011, 15:20

WaechterT

Auf diesen Beitrag antworten »

Ha!

Ja, klar, so geht es dann natürlich. Mich hat nur gestört, dass es (für meine Augen) formell irgendwie angreifbar ausgesehen hat.

Vielen Dank für die Hilfe!

Neue Frage »

Antworten »

Dreiecksungleichung im Beweis einer Metrik

Verwandte Themen