Betragsfunktionen

04.01.2007, 12:43

Medi

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Betragsfunktionen

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu den Betragsfunktionen.
Ich weiß, wie sie ablesen muss, um sie einzutragen.
Beispiel: $\begin{eqnarray*} \mid x - 2\mid - 4 \end{eqnarray*}$
Da weiß ich, dass ich die Funktion auf der X-Achse auf + 2 verschieben muss und auf der y-Achse auf -4.
Ich weiß auch, wenn ein - vor dem x steht, dann öffnet sich die Funktion nach unten.

Aber woher weiß ich, in welchem Winkel die beiden linearen Funktionen nach unten oder oben gehen? Also wie hoch der Anstieg ist?

Liebe Grüße und schon mal danke,
Medi

04.01.2007, 12:46

Leopold

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RE: Betragsfunktionen

Zitat:

Original von Medi
Ich weiß auch, wenn ein - vor dem x steht, dann öffnet sich die Funktion nach unten.

Das ist falsch. Wenn das Minus vor dem Betrag steht, dann öffnet sich der Graph nach unten.

04.01.2007, 12:48

f(x)

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Kennst du denn die Steigungen von den beiden Geraden?
Wenn du die weißt, bist du schon fast fertig.

04.01.2007, 12:51

Medi

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@ Leopold: Na ja, das meinte ich ja. Hab mich nur falsch ausgedrückt Augenzwinkern

Augenzwinkern

@ f(x): Ich nehme mal an, der Anstieg für mein Beispiel ist 1, oder?

04.01.2007, 12:51

Menelaos

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Es handelt sich ja um eine lineare Betragsfunktion, d.h. du kannst die Steigung wie bei einer linearen Funktion ablesen, wobei du eben auf den Betrag achten musst.

Bsp:

$\begin{eqnarray*} f(x) = |-2x+1~|~-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m=2 \end{eqnarray*}$

04.01.2007, 12:53

f(x)

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Genau, kennst du einen Zusammenhang zwischen der Steigung einer Geraden und ihrem Steigungswinkel?

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04.01.2007, 13:13

Medi

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@ Menelaos:
Also ist der Anstieg -1/2 bei $\begin{eqnarray*} \mid 1/2x - 5 \mid -3 \end{eqnarray*}$ ?
Und -5 bei $\begin{eqnarray*} \mid 5x - 5 \mid -3 \end{eqnarray*}$ ?
(Eins zur Seite und 1/2 bzw. 5 nach unten?!)

Gut, das ist einleuchtend smile

smile

@ f(x):
Zusammenhang zwischen Steigung und Steigungswinkel?
Wir hatten das mal, aber ich konnte es nicht.

04.01.2007, 13:22

f(x)

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Es gilt $\begin{eqnarray*} tan(\alpha)=m \end{eqnarray*}$ , wobei Alpha der Steigungswinkel und m die Steigung ist.

Nun kennst du also von den Geraden die Steigungen und kannst daraus mit der obigen Formel den Steigungswinkel bestimmen, indem du einfach die Umkehrfunktion des Tangens benutzt.
Die sollte dein Taschenrechner kennen.

Jetzt hast du die beiden Steigungswinkel.
Wenn du die Differenz der beiden Winkel bildest, erhälst du den Schnittwinkel.

04.01.2007, 13:36

Medi

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Indem ich einfach die Umkehrfunktion des Tangens benutze?
Kannst du das genauer erklären?

04.01.2007, 14:34

Menelaos

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Um auf mein Beispiel zurückzukommen Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} tan^{-1}(2)=63,43...° \end{eqnarray*}$

edit: Einheit

04.01.2007, 15:32

Medi

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Ohje, macht mal langsam Jungs.

War das erst mal überhaupt richtig, was ich da geschrieben habe?

Und das mit dem tagens müsst ihr schon ausführlicher erklären, wenn ihr wollt, dass ich das verstehe Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber ich denke, das brauche ich jetzt nicht unbedingt.
Habe aber noch eine andere Frage. Zur Nullstellenberechnung.
Wie genau fuktioniert die?

$\begin{eqnarray*} \mid x - 3 \mid = 2 \end{eqnarray*}$ ist die Ausgangsfunktion
Dann splitte ich auf, in eine negative und eine positive und brechene sie.

Die erste bekomme ich eigentlich hin.
$\begin{eqnarray*} - (x - 3) = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x-3-2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x-5=0 \mid +5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=5 \end{eqnarray*}$

Die zweite macht mir Schwierigkeiten.
$\begin{eqnarray*} (x - 3) = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+3-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x1 \end{eqnarray*}$
Aber wieso ist die 1 das Ergebnis? Denn eigentlich steht da doch jetzt $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ !

Und noch eine Frage.
Bei dieser Gleichung ist es so: = 2
Wenn es aber so ist: -2 muss ich es ja gleich 0 setzen?!

Also:
$\begin{eqnarray*} (x+1)-2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x-1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} -(x+1)-2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x-3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=-3 \end{eqnarray*}$

Das ist ja einfacher, aber ich würde in der Arbeit sicher auch nicht darauf kommen ...

04.01.2007, 17:57

f(x)

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Um diese Gleichung $\begin{eqnarray*} \mid x-3 \mid =2 \end{eqnarray*}$ nach x aufzulösen, unterscheidet man zwei Fälle:

1.Fall: $\begin{eqnarray*} +(x_{1}-3) =2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_{1}-3>0 \end{eqnarray*}$

2.Fall: $\begin{eqnarray*} -(x_{2}-3) =2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_{2}-3<0 \end{eqnarray*}$

Jetzt muss man in beiden Fällen nach x auflösen und überprüfen, ob die jeweiligen Bedingungen erfüllt werden.

1.Fall:
$\begin{eqnarray*} +(x_{1}-3) =2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_{1}-3>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}-3=2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_{1}-3>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}=5 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_{1}-3>0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} 5-3>0 \end{eqnarray*}$ gilt, ist $\begin{eqnarray*} x_{1}=5 \end{eqnarray*}$ eine Lösung des Gleichungssystems.

2.Fall:
$\begin{eqnarray*} -(x_{2}-3) =2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_{2}-3<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x_{2}+3=2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_{2}-3<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x_{2}=-1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_{2}-3<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_{2}-3<0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} 1-3<0 \end{eqnarray*}$ gilt, ist $\begin{eqnarray*} x_{2}=1 \end{eqnarray*}$ eine Lösung des Gleichungssystems.

04.01.2007, 17:59

Menelaos

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Also das

Zitat:

Original von Medi
$\begin{eqnarray*} \mid x - 3 \mid = 2 \end{eqnarray*}$ ist die Ausgangsfunktion

ist schon mal eine Gleichung, keine Funktion. Du solltest vielleicht einfach mal die genaue Aufgabenstellung posten, bzw. die wirkliche Ausgangsfunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=... \end{eqnarray*}$ deren Nullstellen du ermitteln möchtest...

04.01.2007, 18:21

Medi

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Ach, seid doch nciht so streng mit mir!
Ausgangsgleichung:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \mid x-3 \mid -2 \end{eqnarray*}$

Und davon möchte ich die Nullstellen errechnen, so wie das f(x) gerade vorgemacht hat.

Ich kanns nur nicht ganz nachvollziehen ...

Bei: $\begin{eqnarray*} -(x-3)=2 \end{eqnarray*}$ muss ich doch die 2 minus nehmen?!
Also steht dann da $\begin{eqnarray*} - x+3-2 \end{eqnarray*}$ !
Und dann rechne ich $\begin{eqnarray*} 3 - 2 \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist.
Dann steht da $\begin{eqnarray*} x + 1 \end{eqnarray*}$ !
Und dann würde ich $\begin{eqnarray*} - 1 \end{eqnarray*}$ nehmen und hätte $\begin{eqnarray*} x = -1 \end{eqnarray*}$

Was ist daran jetzt falsch? Wo liegt mein Denkfehler?

04.01.2007, 19:45

f(x)

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Wenn du eine Gleichung nach einer Variablen aufzulösen hast, dann musst du immer auf beiden Seiten der Gleichung das Gleiche tun.
Zum Beispiel kannst du einen bestimmten Wert abziehen oder dazutun.
Das tust du so lange, bis das x auf einer Seite alleine steht.

Du hast das formal falsch gemacht, weil bei dir keine Gleichung, sondern nur noch ein Term steht.
So ist es ziemlich unübersichtlich und du hast dadurch nicht gemerkt, dass du das Vorzeichen vor dem x unterschlagen hast.
Es müsste gegen Ende deiner Rechnung so lauten:

$\begin{eqnarray*} -x+1=0 \end{eqnarray*}$

Dann kannst du auf beiden Seiten ein x dazufügen und es entsteht:

$\begin{eqnarray*} -x+1+x=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=x \end{eqnarray*}$ fertig!

04.01.2007, 19:56

Medi

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Zitat:

Original von f(x)
Dann kannst du auf beiden Seiten ein x dazufügen und es entsteht:

$\begin{eqnarray*} -x+1+x=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=x \end{eqnarray*}$ fertig!

Sorry, da kann ich dir nicht folgen! Wieso füge ich einfach so zwei x dazu??

04.01.2007, 20:04

f(x)

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Du führst auf beiden Seiten je ein x dazu, weil du auf beiden Seiten einer Gleichung immer nur das Gleiche machen darfst.
Das ist wie bei einer Waage, die im Gleichgewicht steht.
Wenn du auf beiden Seiten jeweils 5Kg Gewichte dazustellst, bleibt sie im Gleichgewicht.

Du darfst also nicht einfach nur auf der linken Seite ein x addieren, sonst erhälst du eine andere Gleichung mit anderen Lösungen.

04.01.2007, 22:32

Medi

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Ja, das verstehe ich schon, aber wieso addiere ich überhaupt ein x?
Um das -x am Anfang wegzbekommen?

Also dann so?

$\begin{eqnarray*} y= 1 + x = x \end{eqnarray*}$

Ich versteh das grad noch so ganz ...

04.01.2007, 23:34

f(x)

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Ja, du addierst ein x, damit es auf der linken Seite wegfällt.
Denn +x-x=0. So steht das x auf der rechten Seite alleine und du bist fertig.

Das y ist fehl am Platz.
Du willst ja die Nullstellen bestimmen,
also du willst wissen, welches x du in deine Funktionsgleichung einsetzen musst, damit y=0 wird.
Um dieses x herauszukriegen, musst du y=0 setzen.

Also statt y=..., schreibst du 0=...
Das kannst du nach x auflösen.
Das machst du bei linearen Gleichungen, indem du, wie schon gesagt, auf beiden Seiten der Gleichung Werte addierst, subtrahierst, multiplizierst oder dividierst, bis das x isoliert auf einer Seite steht.

Bei Betragsfunktionen musst du dann noch zusätzlich eine Fallunterscheidung machen und somit zwei Gleichungen nach x auflösen.

Du hast geschrieben: x+1=x
Das ist eine falsche Aussage, denn wenn du x abziehst (auf beiden Seiten), erhälst du 1=0.

Schau dir am besten noch einmal in Ruhe die ganzen Beiträge zu diesem Thema an.
Es ist überhaupt nicht schwer zu verstehen.

05.01.2007, 10:40

Medi

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Okay, also so:

$\begin{eqnarray*} -(-x-3) = 2 \end{eqnarray*}$

Klammern auflösen:
$\begin{eqnarray*} +x-3=2 \end{eqnarray*}$

2 subtrahieren:
$\begin{eqnarray*} +x-3-2=0 \end{eqnarray*}$

Ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} +x-1 = 0 \end{eqnarray*}$

1 addieren:
$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

Jaa??
Aber wird die 3 nicht auch positiv, wegen dem minus vor der Klammer ...? unglücklich

unglücklich

05.01.2007, 11:00

Calvin

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Zitat:

Original von Medi
$\begin{eqnarray*} -(-x-3) = 2 \end{eqnarray*}$

Klammern auflösen:
$\begin{eqnarray*} +x-3=2 \end{eqnarray*}$

[...]

Aber wird die 3 nicht auch positiv, wegen dem minus vor der Klammer ...? unglücklich

unglücklich

Doch, die 3 wird auch positiv. Auf der vorigen Seite hast du es schonmal richtig gemacht.

05.01.2007, 11:31

Medi

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Also wenn die 3 positiv ist ...

$\begin{eqnarray*} +x+3-2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +x+1=0 \end{eqnarray*}$

Dann muss ich doch jetzt die 1 subtrahieren, was bedeutet, dass sie negativ wird und das ist ja falsch ... unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} +x=-1 \end{eqnarray*}$

05.01.2007, 11:41

Calvin

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Zitat:

Original von Medi
Dann muss ich doch jetzt die 1 subtrahieren, was bedeutet, dass sie negativ wird und das ist ja falsch ... unglücklich

unglücklich

Wenn du $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ in deine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=|-x-3|-2 \end{eqnarray*}$ einsetzt, erhälst du den Wert 0. Das ist das, was du gesucht hast.

Der Grund, warum f(x) hier auf x=1 kommt, ist folgender: du hast am Ende eine andere Funktion aufgeschrieben. Zuerst hast du $\begin{eqnarray*} f(x)=|x-3|-2 \end{eqnarray*}$ und später $\begin{eqnarray*} f(x)=|-x-3|-2 \end{eqnarray*}$

Welche ist denn richtig?

EDIT

OK, jetzt habe ich den Fehler gefunden. Vergiss, was oben steht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Medi
$\begin{eqnarray*} f(x) = \mid x-3 \mid -2 \end{eqnarray*}$

Und davon möchte ich die Nullstellen errechnen, so wie das f(x) gerade vorgemacht hat.

Ich kanns nur nicht ganz nachvollziehen ...

Bei: $\begin{eqnarray*} -(x-3)=2 \end{eqnarray*}$ muss ich doch die 2 minus nehmen?!
Also steht dann da $\begin{eqnarray*} - x+3-2 \end{eqnarray*}$ !
Und dann rechne ich $\begin{eqnarray*} 3 - 2 \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist.
Dann steht da $\begin{eqnarray*} x + 1 \end{eqnarray*}$ !

Da steht nicht x+1, sondern $\begin{eqnarray*} -x+1=0 \end{eqnarray*}$ Damit kriegst du auch x=1 raus.

05.01.2007, 11:53

Medi

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Achsoo ... also so:

$\begin{eqnarray*} 0=-x+3-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=-x+1 \end{eqnarray*}$

Dann subtrahiere ich die 1
$\begin{eqnarray*} -x=-1 \end{eqnarray*}$

Und dann nehm ich das ganze mal -1
$\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$

Man, eine schwierige Geburt ...^^

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