Negation von Mengen

26.10.2011, 12:01

GdM_I

Negation von Mengen

Hallo!

Ich hänge gerade an folgender Aufgabe ein wenig fest:

Aufgabe:
Wie lautet die Negation der folgenden Aussage?
$\begin{eqnarray*} M, N, R \end{eqnarray*}$ Mengen mit $\begin{eqnarray*} R \subset N \subset M \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} M \backslash N \subset M \backslash R \end{eqnarray*}$

Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} (M \backslash N \subset M \backslash R) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \left\{ x |x \in M \wedge x \notin N \right\} \subset \left\{x|x \in M \wedge x \notin R \right\} \end{eqnarray*}$

Negation
$\begin{eqnarray*} \neg (M \backslash N \subset M \backslash R) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \left\{ x |x \notin M \vee x \in N \right\} \not \subset \left\{x|x \notin M \vee x \in R \right\} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das versuche als Mengen zu schreiben, habe ich doch einen Widerspruch. Es gibt kein x das nicht in M ist oder in N wegen N Teilmenge von M. Was mache ich falsch? Danke im Voraus.

26.10.2011, 12:16

Mazze

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Als erstes sollte man wohl ordentlich Aufschreiben was die Aussage eigentlich ist. Dazu gehört auch die Voraussetzung. So siehts aus :

$\begin{eqnarray*} R \subset N \subset M \Rightarrow M\setminus N \subset M \setminus R \end{eqnarray*}$

Diese Aussage ist zu negieren. Wo Du da den Äquivalenzpfeil herzauberst kann ich nicht ganz nachvollziehen verwirrt

Als Hinweis :

$\begin{eqnarray*} R \subset N \subset M \equiv R \subset N \land N \subset M \end{eqnarray*}$

26.10.2011, 13:09

GdM_I

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RE: Negation von Mengen
Achso. Die Voraussetzung hatte ich gar nicht als solche wahrgenommen. Ja, bin blutigster Anfänger.

$\begin{eqnarray*} (M \backslash N \subset M \backslash R) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \left\{ x |x \in M \wedge x \notin N \right\} \subset \left\{x|x \in M \wedge x \notin R \right\} \end{eqnarray*}$

Ist das kein äquivalenter Ausdruck? Oder wie drücke ich aus, dass dies eine andere Schreibweise für den (ich verstehe das so) gleichen Sachverhalt ist? Bin für jede Korrektur dankbar.

Die Aussage lautet

$\begin{eqnarray*} R \subset N \subset M \Rightarrow M\setminus N \subset M \setminus R \end{eqnarray*}$

Mit
$\begin{eqnarray*} \neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow ( A \wedge \neg B) \end{eqnarray*}$

kann ich nun schreiben

$\begin{eqnarray*} (R \subset N \subset M) \wedge \neg (M\setminus N \subset M \setminus R) \end{eqnarray*}$

Mit

$\begin{eqnarray*} \neg (M \backslash N \subset M \backslash R) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \left\{ x |x \notin M \vee x \in N \right\} \not \subset \left\{x|x \notin M \vee x \in R \right\} \end{eqnarray*}$

Ist

$\begin{eqnarray*} (R \subset N \subset M) \wedge \left\{ x |x \notin M \vee x \in N \right\} \not \subset \left\{x|x \notin M \vee x \in R \right\} \end{eqnarray*}$

Ich denke, ich hab Schrott geschrieben.Wenn ich noch den Hinweis einsetze... Wahrscheinlich ist der Grund dass es nicht klappt, dass ich nicht weiß wo ich genau hin willl.

26.10.2011, 13:25

Mazze

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow ( A \wedge \neg B) \end{eqnarray*}$

Das ist falsch.

Richtig :

$\begin{eqnarray*} \neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \neg ( A \lor \neg B) \Leftrightarrow \neg A \land B \end{eqnarray*}$

Damit sind deine Überlegungen natürlich leider umsonst, da Du die Negation der Aussage

$\begin{eqnarray*} M\setminus N \subset M \setminus R \end{eqnarray*}$

garnicht bestimmen musst.

Zitat:

Ist das kein äquivalenter Ausdruck?

Doch, das ist in Ordnung. Du setzt ja nur die Definition der Mengendifferenz ein.

26.10.2011, 17:12

GdM_I

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Zitat:

Original von Mazze

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow ( A \wedge \neg B) \end{eqnarray*}$

Das ist falsch.

Richtig :

$\begin{eqnarray*} \neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \neg ( A \lor \neg B) \Leftrightarrow \neg A \land B \end{eqnarray*}$

Ich hab mal folgende Wahrheitstabelle gemacht:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} (A) & (\neg A) & (B) & (\neg B) & (A \Rightarrow B) & \neg (A \Rightarrow B) & (\neg A \wedge B ) & (A \wedge \neg B) \\ w & f & w & f & w & f & f & f\\ w & f & f & w & f & w & f &w\\ f & w & w & f & w & f & w & f \\ f & w & f & w & w & f & f & f\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Darin ist meines richtig, wenn ich keinen Fehler gemacht habe. Wenn es falsch ist wo liegt mein Denkfehler?

26.10.2011, 17:36

Mazze

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Du hast völlig recht. Wenn B wahr ist, ist die Implikation stets wahr. Wenn A falsch ist auch. Wenn A wahr ist muss auch B wahr sein , damit die Implikation stimmt. Damit ist $\begin{eqnarray*} A \rightarrow B \equiv \neg A \lor B \end{eqnarray*}$ . Damit ist natürlich auch

Zitat:

Mit $\begin{eqnarray*} \neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow ( A \wedge \neg B) \end{eqnarray*}$

korrekt. Was deinen Aufschrieb angeht, ich schätze mal Du hast da einen Tipfehler drin

$\begin{eqnarray*} \neg (M \backslash N \subset M \backslash R) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \left\{ x |x \in M \vee x \notin N \right\} \not \subset \left\{x|x \in M \vee x \notin R \right\} \end{eqnarray*}$

es sollte

$\begin{eqnarray*} \neg (M \backslash N \subset M \backslash R) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \left\{ x |x \in M \land x \notin N \right\} \not \subset \left\{x|x \in M \land x \notin R \right\} \end{eqnarray*}$

heissen.

26.10.2011, 17:49

GdM_I

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Ok, alles klar.

Wegen der Schreibweise noch:

Also ich hatte

Zitat:

Original von GdM_I

$\begin{eqnarray*} (M \backslash N \subset M \backslash R) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \left\{ x |x \in M \wedge x \notin N \right\} \subset \left\{x|x \in M \wedge x \notin R \right\} \end{eqnarray*}$

und die Negation

Zitat:

Original von GdM_I

$\begin{eqnarray*} \neg (M \backslash N \subset M \backslash R) \Longleftrightarrow \left\{ x |x \notin M \vee x \in N \right\} \not \subset \left\{x|x \notin M \vee x \in R \right\} \end{eqnarray*}$

Wenn das dann so stimmt, hätte ich ja alles negiert und müsste dann fertig sein. Ist das richtig? Schon mal Danke. smile

26.10.2011, 17:54

Mazze

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Du negierst die Aussage, nicht die Mengenoperation. Du würdest bei der Aussage

$\begin{eqnarray*} x + 2 > 1 \end{eqnarray*}$

ja auch nicht das Pluszeichen negieren, oder ?

26.10.2011, 18:09

GdM_I

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Achso. Ich dachte, ich müsste das von "außen nach innen", mit allem drum und dran durchnegieren. Hm, ok, ich denk das hab ich verstanden. Freude

Ok, mit Aussage beziehst du dich auf $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ , nur das soll ich negieren.

26.10.2011, 18:19

Mazze

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Naja,

$\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$

ist die logische Aussage : A ist eine Teilmenge von B

$\begin{eqnarray*} A \setminus B \end{eqnarray*}$

ist keine logische Aussage, was soll daran wahr sein ? was soll daran falsch sein?

$\begin{eqnarray*} A \setminus B \subset C \end{eqnarray*}$

wäre wiederrum eine Aussage. Die Menge A ohne B ist eine Teilmenge der Menge C. Negiert : Die Menge A ohne B ist keine Teilmenge der Menge C.

26.10.2011, 18:31

GdM_I

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Stimmt, es kommt ja darauf an ob es wahr oder falsch ist. Jetzt ist klar denk ich. Thx again smile

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