Reihenfolge und geschlossene Teilmenge

26.10.2011, 12:32

RAmath

Reihenfolge und geschlossene Teilmenge

X ist ein metrischer Raum und A ist eine geschlossenes Teilmenge von X und es gibt eine Reihenfolge $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, ... \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} x_n \rightarrow x \end{eqnarray*}$ .
Es gilt zu beweisen, dass $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$

Ich habe mir ueberlegt, dass gemaess Definition A' eine offene Teilmenge von X sein muss. Kann eine Reihenfolge zu einem Element in einer offenen Teilmenge konvertieren? Wenn ich zeigen koennte, dass dies nicht der Fall ist, waere das Theorem wohl bewiesen.

Tips und Tricks? smile

26.10.2011, 12:34

Mazze

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Was genau ist eine Reihenfolge ? Ist hier das gemeint, was man normalerweise als Folge bezeichnet oder ist das etwas spezielles ?

26.10.2011, 12:40

RAmath

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Jep, sorry - der Kurs wird auf Englisch unterrichtet und da handelt es sich um eine falsche Uebersetzung meinerseits vom Begriff "sequence".

26.10.2011, 12:44

Gast11022013

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Und mit "geschlossene Teilmenge" meinst Du vermutlich "abgeschlossene Teilmenge"?

26.10.2011, 12:47

Mazze

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Naja, dann benutz doch die Definition von Konvergenz. Dann sieht man sofort wo es hingeht.

26.10.2011, 12:52

Gast11022013

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Hallo, Mazze!

Sorry, wenn ich noch weitere Fragen stelle, aber kann man denn nicht einfach die Definition von Abgeschlossenheit benutzen? Sollen die Folgenglieder in A liegen?

26.10.2011, 12:56

Mazze

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Zitat:

Sollen die Folgenglieder in A liegen?

Davon steht da nichts, aber das ist natürlich die wesentliche Voraussetzung. Zumindest sollten nur endlich viele Folgenglieder ausserhalb liegen. Von daher : Welche Voraussetzungen sind an die Folge gestellt ?

Zitat:

aber kann man denn nicht einfach die Definition von Abgeschlossenheit benutzen?

So oder so, ich schätze mit einem Widerspruchsbeweis gehts auch recht gut.

26.10.2011, 12:59

Gast11022013

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Okay, weil das hat mich nämlich auch stutzig gemacht: daß der Fragesteller gar nichts zu der "sequence" sagt. Ich nehme mal an, er hat die Angabe, daß es sich um eine Folge in A handelt, unterschlagen (bzw., daß nur endlich viele Folgenglieder außerhalb von A liegen).

26.10.2011, 13:25

RAmath

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Zitat:

Original von Dennis2010
Und mit "geschlossene Teilmenge" meinst Du vermutlich "abgeschlossene Teilmenge"?

Auch dem ist so, danke. Schon viel gelernt mit meinem Beitrag, danke! smile

Zitat:

Original von Dennis2010
Sorry, wenn ich noch weitere Fragen stelle, aber kann man denn nicht einfach die Definition von Abgeschlossenheit benutzen? Sollen die Folgenglieder in A liegen?

Die Definition ist mir auch bekannt... aber das wird wohl kaum die gesuchte Loesung sein. Punkte fuer eine einfache Definition wird es kaum geben. Daher mein Versuch ueber einen Widerspruchsbeweis.

Zitat:

Dazu steht nichts in der Aufgabe, aber ich gehe auch davon aus, dass dies der Fall ist.

26.10.2011, 13:27

Mazze

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Zitat:

Die Definition ist mir auch bekannt... aber das wird wohl kaum die gesuchte Loesung sein. Punkte fuer eine einfache Definition wird es kaum geben.

Es geht ja auch nicht um das einfache hinschreiben der Definition, sondern um das benutzen der selbigen.

26.10.2011, 14:31

RAmath

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Dann versuche ich es mal so... hoffe, meine intentionale Bezeichnung macht Sinn!

$\begin{eqnarray*} (i) \forall x \in A' \exists \epsilon > 0 s.d. \forall y \{y \in \mathbb{R}:|x-y|<\epsilon\} \in A' \end{eqnarray*}$

Da nun x1, x2... in A beginnen und wir von der Definition der Konvergenz $\begin{eqnarray*} d(x_m, x_n)<\epsilon \end{eqnarray*}$ haben:

Wenn x in A' waere, dann gibt es ein m und n so dass:
$\begin{eqnarray*} x_m \in A & x_n \in A' \end{eqnarray*}$ , aber das verstoesst gegen $\begin{eqnarray*} (i) \end{eqnarray*}$

Bin ich damit zumindest auf dem richtigen Weg?

26.10.2011, 14:50

Zündholz

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Der richtige Weg/Idee ist es.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (i) \forall x \in A' \exists \epsilon > 0 s.d. \forall y \{y \in \mathbb{R}:|x-y|<\epsilon\} \in A' \end{eqnarray*}$

Eine schreibweise die mir zwar nicht so geläufig ist, aber ich denke, dass ich weiß was du meinst. Würde allerdings die Betragsstriche durch die Metrik ersetzen. Und es prinzipiell so aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} \forall x \in A' \exists \epsilon > 0,\ s.d.\ B_{\epsilon}(x) \subset A' \end{eqnarray*}$

wobei B_\epsilon (x) die offene epsilon Kugel (bzgl der Metrik d) sei.

Zitat:

Da nun x1, x2... in A beginnen und wir von der Definition der Konvergenz $\begin{eqnarray*} d(x_m, x_n)<\epsilon \end{eqnarray*}$ haben:

Das ist nicht ganz die Konvergenz definition, sondern sowas wie d(x_n,x) < epsilon

Zitat:

Wenn x in A' waere, dann gibt es ein m und n so dass:
$\begin{eqnarray*} x_m \in A & x_n \in A' \end{eqnarray*}$ , aber das verstoesst gegen $\begin{eqnarray*} (i) \end{eqnarray*}$

Also wenn du das mit der richtigen definition formal nochmal sauber aufschreibst, passt das denke ich. Allerdings solltest du vielleicht doch nochmal kurz dazu sagen wo genau der Widerspruch liegt.
Schöne Grüße

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