Binomialkoeffizient (n über n)

26.10.2011, 13:33

Niyul

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Binomialkoeffizient (n über n)

Hallo ihr Lieben,

Ich häng bei einer Aufgabe von mir.
Zubeweisen sind dort verschiedene Aussagen zu Binomialkoeffizienten. Die ersten beiden Aufgaben sind auch kein Problem. Dort arbeite ich mit "normalen" (n über k) oder (n über k+1) etc. Nach der Def. von (n über k) kann ich dort ja für (n über k) folgendes einsetzten :
n! / (k!(n-k)!)
Und den Beweis bekomm ich dann hin.

Jedoch ist die nächste Aufgabe mit (n über n). Darf ich dort für k jetzt einfach n in die Definition einsetzen und damit dann weiterrechnen oder gibt es dafür eine andere Definition. Ist das n denn beides mal das selbe oder muss ich mit n' rechnen?

Vielen Dank für die Hilfe
Niyul

26.10.2011, 13:35

Gast11022013

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Ja, setze einfach für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ völlig analog zu sonstigen Werten den Wert $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein.

Übrigens:

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{n}=1 \end{eqnarray*}$ .

26.10.2011, 13:37

Niyul

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Ich danke dir so sehr :-), Jetzt werd ichs ja hoffentlich auch hinbekommen :-)

26.10.2011, 13:38

Gast11022013

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Bitte, keine Ursache und wenn Du später willst, kannst Du Deine Ergebnisse ja mal ruhig posten! Wink

Wink

26.10.2011, 13:52

Niyul

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Nur um nochmal sicher zu gehen, ob ich denn dann auch richtig einsetze:
Zur verständigung erstmal der Aufgabenteil:

(n über 0)² + (n über 1)² +...+ (n über n)² = (2n über n)

Wenn ich jetzt beweisen will, dass das stimmt, dann muss ja:

(2n über n)*(n über n+1)² = (2n über n+1).

Und durch einsetzten der Definition komme ich dann auf:

2*(n!)/(n!(2n-1)) * (n!/((n+1)!(n-(n+1))!))²

Kann das so stimmen oder hab ich das falsch verstanden?
Wäre im Zähler wenn ich 2n für n einsetze dann (2n)! oder 2(n!) ?

Vielen Dank nochmals
Niyul

26.10.2011, 13:53

Niyul

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Haha, ja kam schneller als Gedacht mein Zwischenergebnis :-P

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26.10.2011, 13:58

Gast11022013

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Zitat:

Original von Niyul
Wenn ich jetzt beweisen will, dass das stimmt, dann muss ja:

(2n über n)*(n über n+1)² = (2n über n+1).

Wie kommst Du darauf?

Im Übrigen stimmt das auch gar nicht, denn die linke Gleichungsseite ist 0 und die rechte Gleichungsseite ungleich Null.

26.10.2011, 14:02

Niyul

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Ich meine das natürlich: (falls es das richtiger machen würde ;-))

(2n über n)+(n über n+1)² = (2n über n+1).

26.10.2011, 14:05

Niyul

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Weil wenn ich das für n gilt, dann müßte es ja auch für n+1 gelten, oder nicht. So hatte ich das bis jetzt immer bewiesen, oder gilt das hierbei nicht?
Oder muss ich dann trotzdem oben das +1 setzen also (n+1 über n) , oder oben und unten? Ich bin jetzt mehr verwirrt als vorher :-(

26.10.2011, 14:08

Gast11022013

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Auch das stimmt nicht.

Di linke Gleichungsseite wäre dann

$\begin{eqnarray*} \binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2} \end{eqnarray*}$ , die rechte hingegen

$\begin{eqnarray*} \frac{n\cdot (2n)!}{(n+1)(n!)^2} \end{eqnarray*}$ .

Wie kommst Du überhaupt darauf, daß sowas gelten würde, wenn die Aussage korrekt ist?

Rechne einfach getrennt die linke und die rechte Seite aus und am Ende siehst Du ja dann, ob sie identisch sind.

26.10.2011, 14:09

Gast11022013

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Achso, Du meinst also einen Beweis per vollständiger Induktion!

Ja, das wäre theoretisch auch möglich!

Aber dann macht man es anders als Du es gemacht hast:

1.) Induktionsverakerung

2.) Induktionsvoraussetzung

3.) Induktionsschritt.

26.10.2011, 14:20

Niyul

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Genau das meinte ich. :-) ...Die Vorraussetzung, etc. Hatte ich aufm Blatt aber ich dachte nicht das sie hier jetzt von bedeutung wäre ;-) Aber die scheint ja dann schon falsch zu sein...Wenn im endeffekt nicht gilt:
(2n über n)+(n über n+1)² = (2n über n+1).

Wenn ich das demnach nicht mit Induktion machen würde, und links und rechts solang umforme bis des gleiche rauskommt, wie geht dass denn dann weiol ich hab da ja +...+ und das kann ich ja dann schlecht umformen,...

26.10.2011, 14:24

Gast11022013

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Sorry, da habe ich Dich missverstanden.

Ja, Du kannst diese Aussage natürlich auch mit vollständiger Induktion über $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ beweisen.

Dann müsstest Du zeigen, daß

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n}{k}^2=\binom{2n+2}{n+1} \end{eqnarray*}$ .

26.10.2011, 14:27

Niyul

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Hui, das ist gut. Dann schau ich mir das jetzt nochmal an,...

Vielen vielen lieben Dank!

26.10.2011, 14:31

Gast11022013

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Sorry nochmal. Hammer

Hammer

Das war falsch!

Du musst zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}^2=\binom{2n+2}{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Sorry.

26.10.2011, 14:31

Niyul

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doch nochmal eine Rückfrage... wo kommt das k denn jetzt aufeinmal her? Ist das nicht in meiner Aufgabe auch als n?

Wie setzt ich das denn dann in meine Def. ein, damit ich da denn auch was rausbekomme?

26.10.2011, 14:33

Gast11022013

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Erstmal schau Dir bitte an, was ich korrigiert habe (s. mein letzter Beitrag).

Und dann steht das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ einfach als Summationsindex und bezeichnet die untere Zahl im Binomialkoeffizienten.

26.10.2011, 14:49

Niyul

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Ja hab ich gesehen, dankeschön.

Ich komme mit der Summenformel nicht so klar: Wenn ich also die Aufgabe umschreiben würde (ich kann dieses formelgedöns nicht, deswegen tut es mir leid, das es "per hand" kommt), sähe das so aus, oder?:

n
SUMME (n über k)² = (2n über n)
k=0

Demnach müsste ich bei der Aufgabe ja dann:

n
(Summe (n über k)² ) + (n+1 über k)² = (2n+2 über n+1)
k=0

kommt bei dem 2ten ein (n+1 über k) ?

26.10.2011, 14:57

Gast11022013

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Also, dann nochmal in langsamer.

Die Aufgabe lautet:

Zeige, daß

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n} \end{eqnarray*}$ .

Beweis per Induktion.

Du musst also zeigen, daß

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}^2=\binom{2\cdot (n+1)}{n+1}=\binom{2n+2}{n+1} \end{eqnarray*}$

26.10.2011, 15:07

Niyul

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Ja, soweit hab ich das auch verstanden. Aber im Tutorium haben wir das immer irgentwie so gemacht, dass wir die Summe von (n über k)² mit -- (n+1) in die hinter dem Summenzeichen stehende Formel eingesetzt-- addiert ahebn und damit dann gerechnet haben,...

Reicht es demnach, wenn ich (n+1 über k)² in die Definition einsetze und wenn dann nachher rauskommt, was ich will, also(2n+2 über n+1), reicht das dann schon?

26.10.2011, 15:19

Gast11022013

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Ja, das, was ihr da gemacht habt, ist nichts Anderes als das, was man im Induktionsschritt mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung macht:

Man schreibt zu der "alten Summe" den einen Summanden, der beim Induktionsschritt hinzukommt dahinter.

Ich versteh' das Problem gerade nicht mehr.

Nun würde einfach ein klassischer Induktionsbeweis folgen.

26.10.2011, 15:25

Niyul

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Ich probiers jetzt einfach mal aus, und wenn ichs dann richtig hab bin ich glücklich und meld mich nochmal :-)

Ich danke dir nochmal sehr!

26.10.2011, 15:25

Gast11022013

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Ihr hattet doch schon das Prinzip der vollständigen Induktion?

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