Beweis durch Induktion 2-elementige Teilmengen in einer n-elementigen Menge

26.10.2011, 15:32	Swiftshift	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis durch Induktion 2-elementige Teilmengen in einer n-elementigen Menge Stehe vor flgendem Problem: Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Anzahl der zwei-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. Zeigen Sie durch Induktion nach n: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{n(n-1)}{2} \end{eqnarray}$ habe mir dazu folgendes überlegt und angelesen: wenn n=0 ist habe ich am ende 0 = 0 was ich logisch finde denn eine Menge mit 0 elementen hat auch keine 2-elementigen Teilmengen. daher fahre ich fort n->n+1 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n+1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{n-(2-1))}{2} \end{eqnarray}$ habe ich mich hier schon vertan ??? ich weis leider nicht 100% ob $\begin{eqnarray} \frac{n-(2-1))}{2} \end{eqnarray}$ das dass Element ist welches ich nun adieren muss... Danke schon jetzt für Eure hilfe und Anregungen=) lg Swiftshift [edit] Hinweis: Betrachten Sie im Induktionsschritt ein beliebiges, aber festes Element und unterscheiden Sie zwei Fälle der satz verwirrt mich eher...
26.10.2011, 15:42	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu zeigen ist mit der Induktion, daß $\begin{eqnarray} \binom{n+1}{2}=\frac{(n+1)\cdot n}{2} \end{eqnarray}$ Mit der Fallunterscheidung ist vermutlich gemeint, ob der gewählte Wert kleiner/ gleich 2 oder größer als 2 ist, nehme ich an.
26.10.2011, 15:50	Swiftshift	Auf diesen Beitrag antworten »
jo die Lösung kenne ich aber das Problem ist das ich nicht weis ob ich das richtig "letzte " element genommen habe umd es da zu Beweisen bzw komme ich nicht auf diese Lösung
26.10.2011, 16:07	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erstmal zum Verständnis der Aufgabe. Im Induktionsschritt hast Du ja dann $\begin{eqnarray} \binom{n+1}{2} \end{eqnarray}$ . Dies ist die Anzahl der 2-elementigen Teilmengen einer (n+1)-elementigen Grundmenge. Oder mit anderen Worten: So viele Möglichkeiten hat man, 2 Elemente aus (n+1)-Elementen zu ziehen. Nun musst Du das ja irgendwie auf $\begin{eqnarray} \binom{n}{2} \end{eqnarray}$ zurückführen, sonst klappt das Induktionsprinzip ja nicht. Eine (n+1)-elemenige Menge ist eine n-elementige Menge, zu der noch ein Element hinzugeworfen wird. Da sollst Du Dir nun ein Element, das Du ziehst anschauen und zwei Fälle unterscheiden und zwar den, daß Du dieses Element aus "der alten" Menge ziehst oder daß das Element das Element ist, das Du hinzugeworfen hast. Und das hilft Dir dann die Induktionsvoraussetzung anzuwenden!

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