Ungleichung Ana I - Induktiv mit Binomi

26.10.2011, 16:33	-aaa-	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung Ana I - Induktiv mit Binomi Habe hier folgende Ungleichung: $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{j=1}^{n-1} j^{p} < \frac{n^{p+1}}{p+1} <br /> \end{eqnarray}$ Lösung soll Induktiv mit hilfe des binomischen Satzes erfolgen. Hier habe ich jedoch einige Probleme, überhaupt einen Zusammenhang zwischen der Beh. und Binomi zu erkennen. Ich habe schon daran gedacht die Beh. umzuformen zu vllt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^{n-1} j^{p}(p+1) < n^{p+1} \end{eqnarray}$ Und dann induktiv $\begin{eqnarray} n\Rightarrow n+1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^{n} j^{p}(p+1) = \sum\limits_{j=1}^{n-1} j^{p}(p+1)+n^{p}<n^{p+1}+n^{p} \end{eqnarray}$ Aber weiter wusste ich da jetzt auch noch nicht, und ich sehe hier auch immer noch keinen Binomi (oder irgendwas nützliches). Falls da vllt jemand einen kleinen Tip für mich hätte wäre ich sehr froh.
26.10.2011, 16:36	-aaa-	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung Ana I - Induktiv mit Binomi Soll natürlich heissen: $\begin{eqnarray} n\Rightarrow n+1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^{n} j^{p}(p+1) = \sum\limits_{j=1}^{n-1} j^{p}(p+1)+n^{p}(p+1)<n^{p+1}+n^{p}(p+1) \end{eqnarray}$
26.10.2011, 17:06	Verkasematucker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung Ana I - Induktiv mit Binomi Aus dem binomischen Lehrsatz folgt für positive $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} (a+b)^m=\sum_{k=0}^m{m\choose k}a^kb^{m-k}\geq b^m+mab^{m-1}. \end{eqnarray}$ Mit a=1, b=n und m=p+1 sollte sich daraus was machen lassen.
26.10.2011, 17:45	-aaa-	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung Ana I - Induktiv mit Binomi Danke, damit löst sich das ganze ja sehr leicht. Und die Aussage: $\begin{eqnarray} (a+b)^m=\sum_{k=0}^m{m\choose k}a^kb^{m-k}\geq b^m+mab^{m-1}. \end{eqnarray}$ lässt sich auch sehr leicht Induktiv beweisen. (Ich schreib das lieber noch dazu, lieber zu viel als zu wenig.)

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