Folgenkriterium (Stetigkeit) mit 2 Aufgaben im R^1

26.10.2011, 16:45

ZooBooJoo

Folgenkriterium (Stetigkeit) mit 2 Aufgaben im R^1

Das Folgekriterium besagt ja, dass:

"Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \colon D \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \end{eqnarray*}$ , wenn für jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_k)_{k \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ mit Elementen $\begin{eqnarray*} x_k \in D \end{eqnarray*}$ , die gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert, auch $\begin{eqnarray*} f(x_k) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ konvergiert."

Aufgabe 1:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 \ , & \ x \leq 0\\ x \ , & x > 0 \end{array} \right. \end{eqnarray*}$
Wir sollen überprüfen ob $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig ist.
$\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ist stetig, wie auch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Kritische Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$
Ich wähle jetzt einfach eine Folge die gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert.
$\begin{eqnarray*} f_1(x_k) = \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste laut Definition $\begin{eqnarray*} f\left( \frac{1}{k}\right) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ konvergieren. Das tut es, denn $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ . Die beiden Werte sind gleich, also ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig.

Stimmt das so?

Warum ich mir nicht sicher bin:
In der Definition steht ja "für JEDE Folge $\begin{eqnarray*} (x_k)_{k \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ [...] die gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert." Ich hab hier exemplarisch nur eine genommen welche gegen x_0 konvergiert.
Ich habe es jedoch nicht für alle Funktionen gezeigt, oder doch?

Aufgabe 2:
... kommt nach Beantwortung der 1. Aufgabe smile

27.10.2011, 08:46

klarsoweit

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RE: Folgenkriterium (Stetigkeit) mit 2 Aufgaben im R^1

Zitat:

Original von ZooBooJoo
Stimmt das so?

Es stimmt für die konkrete Folge, aber wie du schon erkannt hast, mußt du das für jede beliebige Nullfolge zeigen.

27.10.2011, 13:03

ZooBooJoo

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Und wie mache ich das?

27.10.2011, 13:14

klarsoweit

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Nimm an, (x_k) sei eine Nullfolge. Bilde f(x_k) und schau, wogegen das konvergiert.

27.10.2011, 13:41

ZooBooJoo

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Ok. Ich versuchs.

Angenommen $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ sei eine beliebige Nullfolge die von oben gegen 0 konvergiert, jedoch nicht 0 wird, quasi 0.000000000...1

$\begin{eqnarray*} f(x_k) \end{eqnarray*}$ würde in dem Fall gegen $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ , was gegen 0 konvergiert, laufen, was gleichzeitig auch die krit. Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist.

Daher ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig, oder?

Wenn $\begin{eqnarray*} f(x_k) \end{eqnarray*}$ gegen einen anderen Wert gehen würde, wäre $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ unstetig, richtig?

27.10.2011, 14:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von ZooBooJoo
$\begin{eqnarray*} f(x_k) \end{eqnarray*}$ würde in dem Fall gegen $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ , was gegen 0 konvergiert, laufen

Nun ja, es ist $\begin{eqnarray*} f(x_k) = x_k \end{eqnarray*}$ . Jetzt kommt es darauf an, ob $\begin{eqnarray*} f(x_k) \end{eqnarray*}$ konvergiert und ob der Grenzwert gleich f(0) ist.

27.10.2011, 15:24

ZooBooJoo

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Wir haben doch angenommen dass $\begin{eqnarray*} f(x_k) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} x_0 (=0) \end{eqnarray*}$ konvergiert. und $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ ist 0.

Daher stetig?

27.10.2011, 15:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von ZooBooJoo
Wir haben doch angenommen dass $\begin{eqnarray*} f(x_k) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} x_0 (=0) \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Langsam. Wir nehmen an, daß x_k gegen x_0 = 0 konvergiert. Wogegen dann das $\begin{eqnarray*} f(x_k) \end{eqnarray*}$ konvergiert, muß man erstmal sehen.

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