Normalbereiche, Doppelintegrale

26.10.2011, 17:38

Icheben3

Normalbereiche, Doppelintegrale

Gegeben ist das endliche Flächenstück im ersten Quadranten, das von der ersten Winkelhalbierenden $\begin{eqnarray*} y = x \end{eqnarray*}$ und der Parabel $\begin{eqnarray*} y = x^2 \end{eqnarray*}$
berandet wird.
a Ist das Flächenstück ein Normalbereich in x–Richtung? in y–Richtung?

Ja, ist es. In beide Richtungen. Wie ich das jedoch formal hinschreibe ist mir noch nicht so ganz klar.

b Berechnen Sie den Flächeninhalt durch Integration über y und x.

Was ich noch nicht verstanden habe, wie ich die zwei Funktionen so umschreibe, dass ich dann eine Kurche habe, auf die ich das Doppelintegral anwenden kann. Oder mach ich hier einfach ganz klassisch das eine Intergal minus das andere Integral? aber dann verstehe ich die zweite aufgabe nicht =( Bitte um einen kleinen Tip der vielleicht klarheit schaffen wird!

c Berechnen Sie den Flächeninhalt erneut mit vertauschter Integrationsreihenfolge.

siehe oben

d Berechnen Sie den Schwerpunkt des Flächenstücks.
(Dabei sei die Masseverteilung als homogen angenommen.)

kommt zeit kommt rat!

26.10.2011, 18:43

Wetal

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Zitat:

Original von Icheben3
Gegeben ist das endliche Flächenstück im ersten Quadranten, das von der ersten Winkelhalbierenden $\begin{eqnarray*} y = x \end{eqnarray*}$ und der Parabel $\begin{eqnarray*} y = x^2 \end{eqnarray*}$
berandet wird.
a Ist das Flächenstück ein Normalbereich in x–Richtung? in y–Richtung?

Ja, ist es. In beide Richtungen. Wie ich das jedoch formal hinschreibe ist mir noch nicht so ganz klar.

wie habt ihr normalbereich definiert? da reicht es zu zeigen, dass die definition erfüllt ist.

Zitat:

Original von Icheben3
b Berechnen Sie den Flächeninhalt durch Integration über y und x.

Was ich noch nicht verstanden habe, wie ich die zwei Funktionen so umschreibe, dass ich dann eine Kurche habe, auf die ich das Doppelintegral anwenden kann. Oder mach ich hier einfach ganz klassisch das eine Intergal minus das andere Integral? aber dann verstehe ich die zweite aufgabe nicht =( Bitte um einen kleinen Tip der vielleicht klarheit schaffen wird!

sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ dein Flächenstück im ersten quadranten, dann ist die fläche davon einfach

$\begin{eqnarray*} \int_G 1 \ dA = \int \int 1 \ dxdy = \int \int 1 \ dydx \end{eqnarray*}$

hier kann man die reihenfolge beim integrieren vertauschen, wenn man die grenzen entsprechend wählt. diese integration führt letztendlich auf die gleiche berechnung der fläche, wie man es aus der schule kennt (ein integral minus das andere).

26.10.2011, 19:40

Icheben3

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Wie kommst du denn da jetzt auf das $\begin{eqnarray*} \int_G 1 \ dA \end{eqnarray*}$ ?

26.10.2011, 20:23

Wetal

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du kennst vermutlich die darstellung

$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) \ dx \end{eqnarray*}$

um die "fläche" unter einem graphen zu berechnen. wenn $\begin{eqnarray*} f(x)= 1 \end{eqnarray*}$ ist, kriegst du mit dem integral die länge des intervalls $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ .

analog kann man nun das ganze mit 2 variablen $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ machen.

$\begin{eqnarray*} \int_G f(x,y) \ dA = \int_{(x,y) \in G} f(x,y) \ d(x,y) \end{eqnarray*}$

jedem punkt in der ebene, wird ein dritter punkt $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ zugewiesen. hier ein bild
das lässt sich also 3-dim darstellen. um die fläche von G zu berechnen, wählt man als funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y):= 1 \end{eqnarray*}$ und integriert über das gebiet G. anders als im 1-dim fall berechnet man damit quasi das volumen unter der funktion f. das entspricht aber gerade der fläche von G.

26.10.2011, 21:35

Icheben3

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ja aber ein intervall ist ja auch eindeutig. aber inwiefern ist denn die eindeutigkeit bei der größe des gebietes dann gegeben?

26.10.2011, 23:36

Wetal

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Zitat:

Original von Icheben3
ja aber ein intervall ist ja auch eindeutig. aber inwiefern ist denn die eindeutigkeit bei der größe des gebietes dann gegeben?

ich denke, solche fragen sind bestandteil der vorlesung, bzw maßtheorie, falls dich das genau interessiert. versuch doch mal die aufgaben abzuarbeiten. 'n paar hinweise hab ich ja schon gegeben.

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