Diskrete dynamische Systeme

26.10.2011, 17:40	Penelope91	Auf diesen Beitrag antworten »
Diskrete dynamische Systeme Meine Frage: Hallo, ich sitze momentan an folgender Aufgabe und weiß leider überhaupt nicht wie ich anfangen soll Meine Ideen: Für A ? GL(n,C) betrachte das diskrete dynamische System $\begin{eqnarray} \Im : Z X C^{n} \Rightarrow C^{n}, (k,v) \Rightarrow A^{k} v \end{eqnarray}$ Zeige es gibt genau dann endliche bahnen außerhalb von {0} $\begin{eqnarray} \subseteq C^{n} \end{eqnarray}$ wenn A einen eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \in C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda ^k=1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k\in \mathbb N \end{eqnarray}$
28.10.2011, 20:10	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich schreibe das noch mal "sauber" auf: Für $\begin{eqnarray} A \in \mathrm{GL}(n, \mathbb{C}) \end{eqnarray}$ betrachte das dynamische System $\begin{eqnarray} \Im: \mathbb{Z} \times \mathbb{C}^n,~(k,v) \mapsto A^k \cdot v \end{eqnarray}$ So, ich bin mir nicht bei beiden Richtungen sicher, aber bei " $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ " schon. Und das ist ja schon mal was. Wenn es einen Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda^k=1 \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , was heißt das denn? Also zuerst einmal: Was heißt es für den Vektor v, ein Eigenvektor zum Eigenwert Lambda zu sein? Denk an das und an $\begin{eqnarray} A^k \cdot v = \underbrace{A \cdot \dots \cdot A}_{k-mal} \cdot v \end{eqnarray}$

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