Indität des epsilon Tensors

26.10.2011, 19:54	Southwind	Auf diesen Beitrag antworten »
Indität des epsilon Tensors Meine Frage: Ich habe eine Aufgabe bekommen, da ich aber nicht wirklich verstehe was damit gemeint ist, hier mal der genaue Wortlaut: "Überzeugen Sie sich von der Identität $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmk} = \delta{il} \delta{jm} - \delta{im} \delta{jl} \end{eqnarray}$ durch einsetzen einiger Indices und durch allgemeine Symmetrieüberlegungen aufgrund der Eigenschaften des $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ -Tensors. Meine erste Frage wäre also was überhaupt konkret die Aufgabenstellung von mir fordert? Meine Idee: Das einzige was ich aus der Vorlesung über den Tensor weiß ist: -er bei (ijk) = (123),(312),(231) gleich 1 ist - durch Vertauschung zweier Indices wird er -1 - Bei allen anderen möglichen Kombinationen ist er 0 Ich habe versucht einfach Indices einzusetzen, aber da bin ich mir auch nicht sicher, ob die Indices nur Werte 1,2,3 annehmen dürfen? Und was mache ich dann? Zu den Symmetrieüberlegungen: Ich glaube, der Tensor heißt auch "total antisymmetrischer Tensor" weil druch Vertauschung eben aus 1 --> -1 wird. Gibt es dazu noch mehr? Und was meint eigentlich der Ausdruck "Überzeugen sie sich von der Identität.."? Für Tipps oder vielleicht sogar Erklärung (wie gesagt, in der Vorlesung kam sehr wenig dazu) bin ich dankbar.
27.10.2011, 11:14	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu berechnen ist die Summe $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmk} \end{eqnarray}$ . (Man lässt das Summenzeichen der Kürze wegen oft weg und summiert automatisch über diejenigen Indizes, welche doppelt auftreten - hier also über k). Bei der Berechnung derartiger Summen kann man schnell die Übersicht verlieren - gerade wenn die Ausdrücke noch komplizierter werden. Um dies zu vermeiden, ist es hilfreich, den Epsilontensor als Determinante von Kronekerdeltas darzustellen. Man macht sich leicht klar, dass die Summe dann wie folgt aussieht $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmk} =\underbrace{\left \|\begin{pmatrix} \delta_{i1} & \delta_{i2} & \delta_{i3} \\ \delta_{j1} & \delta_{j2} & \delta_{j3} \\ \delta_{k1} & \delta_{k2} & \delta_{k3} \end{pmatrix} \right \|}_{\epsilon_{ijk}} \cdot \underbrace{\left \| \begin{pmatrix} \delta_{1l} & \delta_{1m} & \delta_{1k} \\ \delta_{2l} & \delta_{2m} & \delta_{2k} \\ \delta_{3l} & \delta_{3m} & \delta_{3k}\end{pmatrix} \right \|}_{\epsilon_{lmk}} \end{eqnarray}$ Obwohl dies auf den ersten Blick komplizierter aussieht, ist diese Schreibweise besser, weil man nun formale Rechengesetze nutzen kann: Wir benutzen, dass das Produkt der Determinanten zweier Matrizen gleich der Determinante des Matrixproduktes ist $\begin{eqnarray} =\left \|\begin{pmatrix}\delta_{i1} & \delta_{i2} & \delta_{i3} \\ \delta_{j1} & \delta_{j2} & \delta_{j3} \\ \delta_{k1} & \delta_{k2} & \delta_{k3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\delta_{1l} & \delta_{1m} & \delta_{1k} \\ \delta_{2l} & \delta_{2m} & \delta_{2k} \\ \delta_{3l} & \delta_{3m} & \delta_{3k}\end{pmatrix}\right \| \end{eqnarray}$ Wir multiplizieren die Matrizen wie üblich aus $\begin{eqnarray} =\left \| \begin{pmatrix} \delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i2}\delta_{2l}+\delta_{i3}\delta_{3l} & \delta_{i1}\delta_{1m}+\delta_{i2}\delta_{2m}+\delta_{i3}\delta_{3m} & \delta_{i1}\delta_{1k}+\delta_{i2}\delta_{2k}+\delta_{i3}\delta_{3k} \\ \delta_{j1}\delta_{1l}+\delta_{j2}\delta_{2l}+\delta_{j3}\delta_{3l} & \delta_{j1}\delta_{1m}+\delta_{j2}\delta_{2m}+\delta_{j3}\delta_{3m} & \delta_{j1}\delta_{1k}+\delta_{j2}\delta_{2k}+\delta_{j3}\delta_{3k} \\ \delta_{k1}\delta_{1l}+\delta_{k2}\delta_{2l}+\delta_{k3}\delta_{3l} & \delta_{k1}\delta_{1m}+\delta_{k2}\delta_{2m}+\delta_{k3}\delta_{3m} & \delta_{k1}\delta_{1k}+\delta_{k2}\delta_{2k}+\delta_{k3}\delta_{3k} \end{pmatrix} \right \| \end{eqnarray}$ Wir fassen die einzelnen Matrixelemente mit den Rechengesetzen für Kronekerdeltas zusammen $\begin{eqnarray} =\left \| \begin{pmatrix} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{ik} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jk} \\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kk} \end{pmatrix} \right \|<br /> \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} \delta_{kk}=\delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33}=3 \end{eqnarray}$ ist dies $\begin{eqnarray} =\left \| \begin{pmatrix} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{ik} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jk} \\ \delta_{kl} & \delta_{km} & 3 \end{pmatrix} \right \| \end{eqnarray}$ Mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz entwicklen wir diese Deterinante nach der 3.Spalte. $\begin{eqnarray} =\delta_{ik}\left \| \begin{pmatrix} \delta_{jl} &\delta_{jm} \\ \delta_{kl} & \delta_{km} \end{pmatrix} \right \|-\delta_{jk}\left \| \begin{pmatrix} \delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{kl} & \delta_{km} \end{pmatrix} \right \|+3 \cdot \left \| \begin{pmatrix} \delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} \end{pmatrix} \right \| \end{eqnarray}$ Nach den Rechengesetzen mit Determinanten multiplizieren wir im 1.Summanden den Faktor $\begin{eqnarray} \delta_{ik} \end{eqnarray}$ und im 2.Summanden den Faktor $\begin{eqnarray} \delta_{jk} \end{eqnarray}$ in die 2.Zeile. $\begin{eqnarray} =\left \| \begin{pmatrix} \delta_{jl} &\delta_{jm} \\ \delta_{ik}\delta_{kl} & \delta_{ik}\delta_{km} \end{pmatrix} \right \|-\left \| \begin{pmatrix} \delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{jk}\delta_{kl} & \delta_{jk}\delta_{km} \end{pmatrix} \right \|+3 \cdot \left \| \begin{pmatrix} \delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} \end{pmatrix} \right \|<br /> \end{eqnarray}$ Absummieren des Index k im 1. und 2.Summanden liefert $\begin{eqnarray} =\left \| \begin{pmatrix} \delta_{jl} &\delta_{jm} \\ \delta_{il} & \delta_{im} \end{pmatrix} \right \|-\left \| \begin{pmatrix} \delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} \end{pmatrix} \right \|+3 \cdot \left \| \begin{pmatrix} \delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} \end{pmatrix} \right \| \end{eqnarray}$ Die letzten beiden Determinanten kann man zusammenfassen. $\begin{eqnarray} =\left \| \begin{pmatrix} \delta_{jl} &\delta_{jm} \\ \delta_{il} & \delta_{im} \end{pmatrix} \right \|+2 \cdot \left \| \begin{pmatrix} \delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} \end{pmatrix} \right \| \end{eqnarray}$ Vertauscht man in der 1.Determinante die Zeilen,muss man den Faktor -1 davor setzen. Dann kann man beide Summenden endgültig zusammenfassen und erhält das Gewünschte $\begin{eqnarray} =\left \| \begin{pmatrix} \delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} \end{pmatrix} \right \|= \delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl} \end{eqnarray}$
27.10.2011, 14:11	Southwind	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die ausführliche Erklärung, jetzt versteh' ich zumindest wie man auf die Identität kommt. Jetzt heißt es in der Aufgabenstellung aber genau "Überzeugen Sie sich von der Identität durch einsetzen einiger Indices und durch allgemeine Symmetrieüberlegungen aufgrund der Eigenschaften des $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ -Tensors." Kann mir da vielleicht noch jemand weiter helfen? Was ist damit eigentlich gemeint? Oder ist es genau das was gerade ausführlich erklärt wurde?
28.10.2011, 09:35	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir bestätigen die Identität $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmk}=\begin{vmatrix} \delta_{il} & \delta_{im} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} \end{vmatrix}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl} \end{eqnarray}$ am Beispiel mit den festen Indizs i=l=1 und j=m=2. Dort soll also gelten $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^3 \epsilon_{12k}\epsilon_{12k}=\begin{vmatrix} \delta_{11} & \delta_{12} \\ \delta_{21} & \delta_{22} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=1 \end{eqnarray}$ . Nachrechnen ergibt tatsächlich $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^3\epsilon_{12k}\epsilon_{12k}=\underbrace{\epsilon_{121}}_{=0}\underbrace{\epsilon_{121}}_{=0}+\underbrace{\epsilon_{122}}_{=0}\underbrace{\epsilon_{122}}_{=0}+\underbrace{\epsilon_{123}}_{=1}\underbrace{\epsilon_{123}}_{=1}=1 \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »