Lineare Abbildungen

04.01.2007, 14:30

phoney

Lineare Abbildungen

Hallo.

Zu Übungszwecken soll ich herausfinden, ob diese Abbildung linear ist:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^3 \to \mathbb R [t], f(a_1,a_2,a_3):=a_1+(a_1+a_2)t+(a_1+a_2+a_3)t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(u+v) = f(u)+f(v) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\lambda u) = \lambda f(u) \end{eqnarray*}$

Soll ich jetzt für
$\begin{eqnarray*} a_1: u_1+v_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2: u_2+v_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3: u_3+v_3 \end{eqnarray*}$

einsetzen?

Dann erhalte ich ja

$\begin{eqnarray*} f(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3):= u_1+v_1+(u_1+v_1+u_2+v_2)t+(u_1+v_1+u_2+v_2+u_3+v_3)t^2 \end{eqnarray*}$

Bei der Gegenprobe hätte ich dann

$\begin{eqnarray*} f(u_1,u_2,u_3)+f(v_1,v_2,v_3)=u_1+(u_1+u_2)t+(u_1+u_2+u_3)t^2+v_1 +(v_1+v_2)t+(v_1+v_2+v_3)t^2 \end{eqnarray*}$

Das ist definitiv dasselbe.

Also ist das erste Kriterium erfüllt

$\begin{eqnarray*} f(\lambda u) = \lambda f(u) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3):=\lambda a_1+(\lambda a_1+ \lambda a_2)t+(\lambda a_1+\lambda a_2+\lambda a_3)t^2 \end{eqnarray*}$

Es ist vielleicht unschick, dass ich a_1 statt u_1 sage usw?

$\begin{eqnarray*} = \lambda (a_1+(a_1+a_2)t+(a_1+a_2+a_3)t^2) = \lambda f(a_1,a_2,a_3) \end{eqnarray*}$

Also ist die Abbildung linear!

Richtig?! Prost