Surjektivität bezüglich der Tupeln

26.10.2011, 23:41

natural

Surjektivität bezüglich der Tupeln

Hi Leute,
Folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten:
Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^{2}\to \mathbb R^{2}, (x^{2}-y^{2},2xy) \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass f surjektiv, aber nicht injektiv ist.
Hinweis: Denken sie an die Komplexen Zahlen. Welche Funktion $\begin{eqnarray*} f': \mathbb C\to \mathbb C \end{eqnarray*}$ entspricht $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$
Beweis.
Injektivität.
Aus $\begin{eqnarray*} f\left((1,1)\right)= f\left((-1,-1)\right) \end{eqnarray*}$ folgt nicht $\begin{eqnarray*} (1,1)=(-1,-1) \end{eqnarray*}$ .
Also ist f nicht injektiv

Mein Problem liegt die Surjektivität bei Tupeln zu zeigen.
Durch den Hinweis bin ich soweit gekommen:
$\begin{eqnarray*} (x,y)\cdot (x,y)= (x^{2}-y^{2},2xy) \end{eqnarray*}$
Wie gehe mit Tupeln bezüglich der Surjektivät um?

lg
natural

26.10.2011, 23:47

galoisseinbruder

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Identifiziere doch (x,y) mit x+iy (was Du mit dem $\begin{eqnarray*} (x,y)\cdot (x,y)= (x^{2}-y^{2},2xy) \end{eqnarray*}$ ja eigentlich schon gemacht hast ). Dann ist f'(z)=? und das liefert sofort die Surjektivität.

27.10.2011, 21:13

natural

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Hi Galois,
Ich habe dein Tipp befolgt und habe die Surjektivität folgendermaßen erhalten:
Surjektivität:
Die Abbildung f ist immer surjektiv, denn wegen $\begin{eqnarray*} z=x+yi=(x,y) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(z)=(x²+y²,2xy) =(x+yi)(x+yi)=(x+yi)²=z² \end{eqnarray*}$ wird durch $\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{f(z)}=z \end{eqnarray*}$ gelöst.
q.e.d

Ist eigentlich was am Beweis auszusetzten oder ist das so in Ordung
lg
natural

27.10.2011, 21:34

galoisseinbruder

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Von der Idee her gut, die Formulierung ist noch ausbaufähig.
Gesucht ist für jedes $\begin{eqnarray*} w \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ein f Urbild, nicht nur für die Bildmenge von f. Die komplexe Wurzel ist überdies mehrdeutig (es gibt immer n n-te Wurzeln dank dem Fundamentalsatz der Algebra).
Würde das Ganze so formulieren:
Bezeichnet z für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} w\in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle des Polynoms $\begin{eqnarray*} X^2-w \end{eqnarray*}$ , so ist z ein Urbild von w unter f.

27.10.2011, 21:55

natural

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Hi Galois,
ich bin noch ein Ersti und man hat bei uns noch keine Polynome eingeführt. Könntest du mir eventuell noch einen anderen Tipp geben, wo ich hinsteuern könnte

lg
natural

27.10.2011, 22:01

galoisseinbruder

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Dann das z explizit angeben über Polarkoordinaten:
$\begin{eqnarray*} z\cdot z =w \end{eqnarray*}$ dann kannst Du mittels komplexe Muliplikation ist "Multiplizeren der Beträge und Addieren der Winkel" ein z in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} w=|w|e^{2\pi i \alpha} (0 \leq \alpha <1) \end{eqnarray*}$ darstellen.

Hoffe das ist nachvollziehbarer, mit mir geht manchmal der Algebraiker durch.

28.10.2011, 00:31

natural

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Hi Galois,
mir fällt einfach die Lösung des Problem nicht wie Schuppen von den Augen. Und ja, ich hoffe das auch eines Tages bei mir der Algebraiker durchgeht Augenzwinkern

Deinen ersten Ansatz leuchtet mir so langsam ein, aber nur ansatzweise.
Beispielsweise Wenn $\begin{eqnarray*} x²-1=0 \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ die Nullstelle und ein Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Irgendwie baust du auf diese Idee auf und verallgeinerst das, aber ich blick nicht durch wo unser f(z) ist. Kleine Vermutung: $\begin{eqnarray*} f(z)-z²=\sqrt{f(z)}^{2} - z^{2}=X²-w=0 :w=z²\in \mathbb C \end{eqnarray*}$
Da die Gleichung durch $\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{f(z)}=z \end{eqnarray*}$ gelöst wird, ist die Abbildung ( sofern ich kein Blödsinn gemacht habe) surjektiv.

Deinen 2 Ansatz kann ich nicht so richtig folgen bzw, ich verstehe nicht wie und warum und weshalb ich durch Multiplizeren der Beträge und Addieren der Winkel so zur surjektivität komme. Ich probiere diesen Ansatz morgen weiter. Aber schau dir mal die erste Begründung an, ob ich das so richtig versanden habe!
Und ohne zu schleimen noch vielen vielen Dank für deine erstklassige Hilfe Freude

28.10.2011, 14:59

galoisseinbruder

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Ich entschuldige mich, dass ich Dich mit dem Polynomansatz verwirrt hab´.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x²-1=0 \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$

Das Polynom hat zwei Nullstellen, daher gibt es nicht die Nullstelle. Und das ist auch das Problem: Komplexe Wurzeln sind mehrdeutig. Es ist a priori nicht klar welche komplexe Zahl z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt[8]{i} \end{eqnarray*}$ sein soll. Deshalb sollte man diese Schreibweise vermeiden.
Also vergiss die idee fürs Erste mit meiner Zweiten gehts deutlich besser.

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