Ungleichungen (Bruch und Betrag)

27.10.2011, 00:14

Joefish

Ungleichungen (Bruch und Betrag)

Obwohl mein Abitur noch nicht so lange her ist, kann ich mich kaum bis gar nicht mehr an Ungleichunge erinnern..
Deswegen wäre ich euch sehr verbunden wenn ich mal drüber schauen könntet.

a)

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x}{x^2+x} < 0 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \backslash \{-1;0\} \\ x^2+x < 0 \\ x(x+1) < 0 \rightarrow x_1 < 0 \\ x+1 < 0 \\ x_2 < -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \texttt{1.Fall:,} \ x < 0 \wedge x < -1 \\ \frac{1-x}{x^2+x} < 0 \\ 1-x > 0 \\ \underline{x < 1} \\ \mathbb{L} = ]- \infty;1[ \end{eqnarray*}$

Nur das kann ja nicht stimmen. Denk mal irgendwo ist ein Rechenfehler
aber finde ihn nicht :/ $\begin{eqnarray*} \mathbb{L}=]1;\infty[ \end{eqnarray*}$ scheint mir da besser.

b)
$\begin{eqnarray*} x|x|-2*x+3 > 0 \\ & \\ \texttt{1. Fall: } \ x < 0 \\ -x^2-2x+3 > 0 \\ x^2+2*x-3 < 0 \\ x_1 < 1 \\ x_2 > 1 \\ & \\ \texttt{2. Fall: } \ x>0 \\ x^2-2*x+3 > 0 \\ x_{1} > 1 \pm \sqrt{-2} \end{eqnarray*}$

Und hier hab ich glaub ich gut was verbockt..

Außerdem warum bekommt man eine Funktion 3ten Grades bei der Betragsfunktion?
Ich habe mir zwar auf verschiedenen Seiten Erklärungen zu Ungleichungen mit Brüchen und Beträgen angesehen,
aber als ich dann erneut die Aufgaben versucht habe, kamen wie man sieht neue Probleme dazu.
Jedoch ist das (leider) immer noch besser als das was ich zuvor fähig war ^^

MfG Joefish

27.10.2011, 08:33

klarsoweit

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RE: Ungleichungen (Bruch und Betrag)

Zitat:

Original von Joefish
$\begin{eqnarray*} \frac{1-x}{x^2+x} < 0 \\ 1-x > 0[ \end{eqnarray*}$

Wie kommst du von der oberen zur unteren Ungleichung? verwirrt

Zitat:

Original von Joefish
b)
$\begin{eqnarray*} x|x|-2*x+3 > 0 \\ & \\ \texttt{1. Fall: } \ x < 0 \\ -x^2-2x+3 > 0 \\ x^2+2*x-3 < 0 \\ x_1 < 1 \\ x_2 > 1 \\ & \\ \texttt{2. Fall: } \ x>0 \\ x^2-2*x+3 > 0 \\ x_{1} > 1 \pm \sqrt{-2} \end{eqnarray*}$

Und hier hab ich glaub ich gut was verbockt..

Der beste Weg ist, den quadratischen Term mittels seiner Nullstellen zu faktorisieren.

Zitat:

Original von Joefish
Außerdem warum bekommt man eine Funktion 3ten Grades bei der Betragsfunktion?

Das mag so ausehen, ist aber nicht der Fall. Einfachstes Beispiel: f(x) = x * |x| .

27.10.2011, 11:01

Joefish

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RE: Ungleichungen (Bruch und Betrag)

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Joefish
$\begin{eqnarray*} \frac{1-x}{x^2+x} < 0 \\ 1-x > 0[ \end{eqnarray*}$

Wie kommst du von der oberen zur unteren Ungleichung? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x}{x^2+x} < 0 \qquad |*(x^2+x) \\ 1-x < 0 \\ \underline{x > 1} \\ \mathbb{L} = ]1;\infty[ \end{eqnarray*}$

Sieht schon besser aus, denke ich.
Zumindest das Ergebnis, nicht wie es aussieht ^^

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Der beste Weg ist, den quadratischen Term mittels seiner Nullstellen zu faktorisieren.

$\begin{eqnarray*} x|x|-2*x+3 > 0 \\ & \\ \texttt{1. Fall: } \ x < 0 \\ -x^2-2x+3 > 0 \\ x^2+2*x-3 < 0 \\ (x+1)^2-4 < 0 \\ (x+1)^2 < 4 \\ x_1 < 1 \vee x_2 > -3 \\ & \\ \texttt{2. Fall: } \ x>0 \\ x^2-2*x+3 > 0 \\ (x-1)^2+2 > 0 \\ (x-1)^2 > -2 \\ x = \mathbb{R} \\ & \\ \mathbb{L}=]-3;\infty[ \end{eqnarray*}$

Stimmt mit dem Graphen überein, doch wäre dankbar für Verbesserungen/Tipps.
Das Faktorisieren macht es nicht nur deutlicher, sondern hat mir auch fürs Verständnis sehr weiter geholfen.
Es ist immer gut zu hinterfragen was man da eigentlich macht und nicht immer nur stur nach Schema-F vorgeht...
Wie schnell man doch sowas vergisst

27.10.2011, 11:22

klarsoweit

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RE: Ungleichungen (Bruch und Betrag)

Zitat:

Original von Joefish
$\begin{eqnarray*} \frac{1-x}{x^2+x} < 0 \qquad |*(x^2+x) \\ 1-x < 0 \\ \underline{x > 1} \\ \mathbb{L} = ]1;\infty[ \end{eqnarray*}$

Generell muß man bei der Multiplikation von Ungleichungen prüfen, welches Vorzeichen der jeweilige Faktor hat, da sich bei negativen Vorzeichen die Ungleichung umdreht. Man muß dann also entsprechende Fallunterscheidungen machen. Man kann das etwas vereinfachen, wenn man von $\begin{eqnarray*} \frac{1-x}{x^2+x} < 0 \end{eqnarray*}$ ausgeht und überlegt, wann ein Bruch negativ sein kann.

Zitat:

Original von Joefish
$\begin{eqnarray*} x|x|-2*x+3 > 0 \\ & \\ \texttt{1. Fall: } \ x < 0 \\ -x^2-2x+3 > 0 \\ x^2+2*x-3 < 0 \\ (x+1)^2-4 < 0 \\ (x+1)^2 < 4 \\ x_1 < 1 \vee x_2 > -3 \\ & \\ \texttt{2. Fall: } \ x>0 \\ x^2-2*x+3 > 0 \\ (x-1)^2+2 > 0 \\ (x-1)^2 > -2 \\ x = \mathbb{R} \\ & \\ \mathbb{L}=]-3;\infty[ \end{eqnarray*}$

Der 2. Fall ist eigentlich x >= 0 und dann ist nicht $\begin{eqnarray*} x = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , was sowieso formaler Unfug ist, sondern $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}_0^+ \end{eqnarray*}$ .

27.10.2011, 12:00

Joefish

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RE: Ungleichungen (Bruch und Betrag)

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Joefish
$\begin{eqnarray*} \frac{1-x}{x^2+x} < 0 \qquad |*(x^2+x) \\ 1-x < 0 \\ \underline{x > 1} \\ \mathbb{L} = ]1;\infty[ \end{eqnarray*}$

Ich war schon fleißig am editieren meines Beitrags, nur hatte ich dann formatierungstechnische Schwierigkeiten mit Latex.
Da ich die Nullstellen für $\begin{eqnarray*} x^2+x \end{eqnarray*}$ berechnet habe $\begin{eqnarray*} x_1 = -1 \vee x_2 = 0 \end{eqnarray*}$ kann ich daraus schließen,
dass $\begin{eqnarray*} ]-1;0[ \end{eqnarray*}$ der Bereich ist, indem $\begin{eqnarray*} x^2+x \end{eqnarray*}$ negativ ist.
Man könnte auch durch Fallunterscheidung bei der Division von $\begin{eqnarray*} x < \frac{0}{(x+1)} \end{eqnarray*}$ in Betracht von $\begin{eqnarray*} x+1 < 0 \texttt{ und } x+1 > 0 \end{eqnarray*}$ kommen.
Was denke ich im Prinzip keinen großen Unterschied macht, oder?

Für Fall 1: $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \backslash ]0;-1[ \\ x > 1 \\ \end{eqnarray*}$

Für Fall 2: $\begin{eqnarray*} x \in ]0;-1[ \\ x > 1 \\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb{L} = ]1;\infty[ \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Hab mich dazu verleiten lassen x>=0 zu ignorieren, da $\begin{eqnarray*} (x-1)^2 > -2 \end{eqnarray*}$ für jedes x gegeben ist..
Und die Schreibweise war wirklich... nunja. In der Schule hat man darauf nicht so viel Wert gelegt.

27.10.2011, 12:11

klarsoweit

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RE: Ungleichungen (Bruch und Betrag)

Zitat:

Original von Joefish
Was denke ich im Prinzip keinen großen Unterschied macht, oder?

Ist im Grunde auch eine Geschmacksfrage.

Zitat:

Original von Joefish
Für Fall 1: $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \backslash ]0;-1[ \\ x > 1 \\ \end{eqnarray*}$

Für Fall 2: $\begin{eqnarray*} x \in ]0;-1[ \\ x > 1 \\ \end{eqnarray*}$

Richtig wäre:

Für Fall 1: $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \backslash ]-1;0[ \\ x > 1 \\ \end{eqnarray*}$

Für Fall 2: $\begin{eqnarray*} x \in ]-1;0[ \\ x < 1 \\ \end{eqnarray*}$

Damit ist deine Lösungsmenge nicht ganz vollständig. smile

27.10.2011, 12:39

Joefish

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Leichtsinnsfehler über Leichtsinnsfehler.
Da hab ich wohl vergessen den Vergleichsoperator 'umzudrehen'..

Das gibt es nicht...
Funktionen, die mit einem verstecken spielen traurig

Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe,
wäre der fehlende 'Teil' meiner Lösungsmenge ]-1;0[,
da wir im Fall 2 nur den Bereich von -1 bis 0 betrachten kann das x
keine Werte höher oder niedriger annehmen (wie z.b. 0,5 oder -3),
was man schnell vermuten könnte bei x < 1.

$\begin{eqnarray*} \mathbb{L} = ]-1;0[ \ \vee \ ]1;\infty[ \end{eqnarray*}$

Ich bin mir nicht sicher wie man das geschickt schreiben kann,
jedoch scheint mir meine Lösung etwas.. nunja.. komisch anzusehen.

27.10.2011, 12:50

klarsoweit

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Die Lösungsmenge ist völlig in Ordnung und man kann den Plot ja auch noch etwas entzerren:

27.10.2011, 12:53

Joefish

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Vielen Dank, klarsoweit.
Du hast mir wirklich unglaublich viel geholfen smile

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