Durchschnitt und Vereinigung von Wahrscheinlichkeiten

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loyloep Auf diesen Beitrag antworten »
Durchschnitt und Vereinigung von Wahrscheinlichkeiten
Meine Frage:
Sei (Sigma, E, P) ein gegebener Wahrscheinlichkeitsraum, sowie A, B in E mit P(A)=3/4 und P(B) =1/3. Zu zeigen ist 1/12 <- P(A durchschnitt B) <- 1/3 und gebe an, in welchem Fall Gleichheit gilt.

Finde analoge Schranken für A Vereinigt B.

Meine Ideen:
Dass P(A durchschnitt B) >- 1/12 ist und die Gleichheit gilt, falls A Durchschnitt B =A ist, habe ich verstanden. Die andere Seite bereitet mir jedoch Schwierigkeiten.
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt und Vereinigung von Wahrscheinlichkeiten
Hallo,
zum Verständnis: Du willst zeigen, dass gilt:


Allerdings für gilt:

Also keine Gleichheit. Dieser Fall kann im Übrigen wegen den angegebenen Wahrscheinlichkeiten sowieso nicht eintreten (und würde ja wegen 3/4 > 1/3 der Aufgabe widersprechen).

Vielleicht könntest du ja mal deine Überlegungen aufschreiben?
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe folgende Formel angewendet:



Um die untere Schranke zu erhalten, habe ich gesetzt und die Werte für und eingesetzt und schließlich die erhaltene Ungleichung nach aufgelöst.

Probleme habe ich dabei die obere Schranke zu bestätigen und den Beweis für den analogen Fall für zu führen.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von loyloep
Probleme habe ich dabei die obere Schranke zu bestätigen

Der Durchschnitt ist stets eine Teilmenge der beiden Ausgangsmengen, d.h.




Was bedeutet das für die Wahrscheinlichkeiten?
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Wahrscheinlichkeiten bedeutet dies:

und
.

Ich sehe jedoch nicht wie das weiterhilft, um die obere Schranke zu bestimmen.
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so ich setze hier einfach die Wahrscheinlichkeiten ein und erhalte damit schon die Abschätzung:



Oder?
 
 
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Genau - also nicht so vorschnell sein mit Urteilen der Art "hilft mir nicht weiter". Augenzwinkern
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von loyloep
Ach so ich setze hier einfach die Wahrscheinlichkeiten ein und erhalte damit schon die Abschätzung:



Oder?
EDIT: Ja, das stimmt
SanjoNinjaPanda Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe noch nicht wie man den Fall der Gleichheit ermittelt. Was soll man dann genau über A und B aussagen können?
Könnte mir das bitte jemand exemplarisch an der unteren Schranke 1/12 für A Durchschnitt B erklären?
Ist der Schnitt dann vielleicht einfach kleinstmöglich?

Danke schonmal!
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
also ich weiß nicht wie die anderen sich das überlegt hatten, aber ich bin mit dem de Morganschen Gesetz auf das komplement übergegangen und habe dann den Ausdruck durch die Summe abgeschätzt. Da muss man sich halt dann überlegen wann Gleichheit auftritt.
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