Betrag und Argument einer komplexen Zahl

27.10.2011, 11:01

pieps13

Betrag und Argument einer komplexen Zahl

Meine Frage:
hallo an alle
wie bestimmt ich den betrag udn das argument folgender komplexer zahlen ?

2i,1|wurzel3i,1-wurzel3i,-5

Meine Ideen:
ideen habe ich leider nicht :/

27.10.2011, 11:04

Gast11022013

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RE: Lösen komplexer Zahlen
Rückfrage:

Wie ist denn z.B. der Betrag einer komplexen Zahl definiert?

27.10.2011, 11:18

pieps13

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RE: Lösen komplexer Zahlen
naja
der bertrag ist ja definiert durch die länge des vektors in der gauß. zahlenebene

27.10.2011, 11:37

Gast11022013

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RE: Lösen komplexer Zahlen
Ja das stimmt schon.

Aber konkreter?

Wenn Du eine konkrete komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} w=u+i\cdot v \end{eqnarray*}$ gegeben hast (so wie bei dieser Aufgabe) so ist doch der Betrag definiert als

$\begin{eqnarray*} \vert w\vert=\sqrt{u^2+v^2} \end{eqnarray*}$ .

Damit kannst Du schon einen Teil der Aufgabe lösen.

27.10.2011, 16:35

pieps13

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RE: Lösen komplexer Zahlen
also ist der betrag von 2i = \sqrt{2} ?
und aus 1- \sqrt{3i} = \sqrt{1²-3}

27.10.2011, 16:41

Gast11022013

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RE: Lösen komplexer Zahlen
Nein, das ist beides nicht korrekt.

Da solltest Du nochmal etwas genauer überlegen.

27.10.2011, 16:52

pieps13

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RE: Lösen komplexer Zahlen
hm ....
also nochmal
bei dem bsp. 2i

wenn w=u+i*v

das für das bsp. 2i

dann ist doch u=0 und v=2 oder liege ich da schon falsch ?

27.10.2011, 17:34

Gast11022013

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RE: Lösen komplexer Zahlen

Zitat:

Original von pieps13

das für das bsp. 2i

dann ist doch u=0 und v=2

Das stimmt!

27.10.2011, 17:52

pieps13

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RE: Lösen komplexer Zahlen
also ist der betrag von $\begin{eqnarray*} 2i= \sqrt{0²+2²} = 0+2=2 \end{eqnarray*}$

27.10.2011, 17:53

Gast11022013

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RE: Lösen komplexer Zahlen
Freude

27.10.2011, 18:36

pieps13

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RE: Lösen komplexer Zahlen
danke
eine frage dann noch
was hat es mit dem senkrechten strich auf sich in der aufgabe $\begin{eqnarray*} 1|\sqrt{3i} \end{eqnarray*}$

und natürlich was nun das argument dann nun ist

27.10.2011, 18:43

Gast11022013

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Tut mir leid, diese Schreibweise sagt mir nichts. unglücklich

27.10.2011, 18:58

pieps13

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hm
trotzdem danke jetzt weiß ich wie das mit dem betrag geht smile

28.10.2011, 00:50

NurMalKurz

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RE: Lösen komplexer Zahlen

Zitat:

Original von pieps13
also ist der betrag von $\begin{eqnarray*} 2i= \sqrt{0²+2²} = 0+2=2 \end{eqnarray*}$

Ich möchte hier nur mal schnell anmerken, dass das Ergebnis nur durch Glück richtig ist. Denn die Wurzel einer Summe ist nicht gleich die Summe der Wurzeln aller Summanden. Blöd formuliert, hier nochmal besser gezeigt :

!!!!!!!!!!!!!!! $\begin{eqnarray*} \sqrt{0^2 + 2^2} \neq \sqrt{0^2} + \sqrt{2^2} \end{eqnarray*}$ !!!!!!!!!!!!!!!

$\begin{eqnarray*} \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{2^2} \end{eqnarray*}$

Also nochmal im Allgemeinen :

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich habe dadurch nicht gestört. Wink

28.10.2011, 00:51

Gast11022013

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RE: Betrag und Argument einer komplexen Zahl
Wie gesagt, was das eine Beispiel mit dem senkrechten Strich zu bedeuten hat, weiß ich nicht, ich nehme an, das ist wohl ein Tippfehler und daß da eigentlich ein Plus oder ein Minus stehen soll.

Ansonsten:

Da ich ein bisschen ein schlechtes Gewissen habe, daß ich bisher so wenig geholfen habe, mache ich mal ein Beispiel ausführlich:

Nehmen wir uns mal das andere Beispiel, nämlich

$\begin{eqnarray*} z=1-\sqrt{3i} \end{eqnarray*}$

Betrag:

Da gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3i}=(3i)^{\frac{1}{2}}=\underbrace{3^{\frac{1}{2}}}_{\sqrt{3}}\cdot \underbrace{i^{\frac{1}{2}}}_{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot i} \end{eqnarray*}$

lässt sich die komplexe Zahl z darstellen als

$\begin{eqnarray*} z=\underbrace{1-\frac{\sqrt{6}}{2}}_{\Re(z)}-\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \Re(z)=1-\frac{\sqrt{6}}{2}, \Im(z)=-\frac{\sqrt{6}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \vert z\vert=\sqrt{\left(1-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{6}+\frac{3}{2}}=\sqrt{4-\sqrt{6}} \end{eqnarray*}$

Argument:

$\begin{eqnarray*} z=r\cdot (\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha) \end{eqnarray*}$

(Polarkoordinatendarstellung von z)

Der Satz des Pythagoras ergibt:

$\begin{eqnarray*} r^2=\Re(z)^2+\Im(z)^2 \end{eqnarray*}$ (Daraus folgt übrigens, daß $\begin{eqnarray*} \vert r\vert=\sqrt{\Re(z)^2+\Im(z)^2} \end{eqnarray*}$ .)

Der Quotient aus $\begin{eqnarray*} \Re(z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Im(z) \end{eqnarray*}$ ergibt den Tangens des Winkels $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Die Umkehrfunktion ergibt dann den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , den man als Argument der komplexen Zahl z bezeichnet und den Du bestimmen sollst, d.h.

$\begin{eqnarray*} \tan\alpha=\frac{\Re(z)}{\Im(z)}, \alpha=\tan^{-1}\alpha \end{eqnarray*}$ .

Als kleine Übung überlasse ich es mal Dir, hiermit nun konkret das Argument auszurechnen.

28.10.2011, 00:57

Gast11022013

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RE: Lösen komplexer Zahlen
Ja, stimmt.

Daß der Fragesteller/ die Fragestellerin das so unerlaubt auseinandergezogen hat, habe ich ganz übersehen.

Natürlich darf man das nicht.

Stattdessen (wenn Du es unbedingt schrittweise aufschreiben möchtest):

$\begin{eqnarray*} \sqrt{0^2+2^2}=\sqrt{0+4}=\sqrt{4}=2 \end{eqnarray*}$ , d.h. fasse unter der einen Wurzel zusammen und ziehe nicht in zwei Wurzeln auseinander. Daß dies nicht geht, hat NurMalKurz ja demonstriert.

Du siehst das auch nochmal in meinem letzen Beitrag, in dem ich Dir ein Beispiel explizit vorgemacht habe (s. Ende Seite 1 dieses Threads).

So, gute Nacht! Wink

28.10.2011, 12:52

pieps13

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RE: Betrag und Argument einer komplexen Zahl
ok also wenn ich das nun richtig verstanden habe ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$
das argument
also in der Gaußschen Ebene wäre der Reale Teil eine Kathete und der Imaginäre Teil die andere Kathete
also ->
$\begin{eqnarray*} tan\alpha = \frac{R(z)}{\Im (z)} =\frac{1-\frac{\sqrt{6} }{2} }{-\frac{\sqrt{6} }{2} } = \frac{-0,224}{-1,224}= 0,183 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha = 10,37° \end{eqnarray*}$

aber eins verstehe ich nicht
und zwar
$\begin{eqnarray*} \sqrt{3i} = 3i^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ also das verstehe ich noch aber das nanach verstehe ich absolut nicht :/

28.10.2011, 14:41

Gast11022013

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RE: Betrag und Argument einer komplexen Zahl
Ja, das hast Du richtig verstanden.

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ wird als "Argument der komplexen Zahl z" bezeichnet.

Der von Dir errechnete Wert stimmt auch. Freude

Zitat:

Original von pieps13
aber eins verstehe ich nicht
und zwar
$\begin{eqnarray*} \sqrt{3i} = 3i^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ also das verstehe ich noch aber das nanach verstehe ich absolut nicht :/

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3i}=(3i)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Vergiss' Dir Klammerung nicht.

Und was meinst Du denn genau mit "das danach"?

30.10.2011, 10:38

pieps13

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RE: Betrag und Argument einer komplexen Zahl
also den schritt verstehe ich noch
$\begin{eqnarray*} \sqrt{3i} = \left(3i\right)^{\frac{1}{2} } = 3^{\frac{1}{2} } *i^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

aber ich verstehe das nicht $\begin{eqnarray*} i^{\frac{1}{2} } = \frac{\sqrt{2} }{2} +\frac{\sqrt{2} }{2}*i \end{eqnarray*}$

30.10.2011, 11:29

Gast11022013

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RE: Betrag und Argument einer komplexen Zahl

Zitat:

Original von pieps13
aber ich verstehe das nicht $\begin{eqnarray*} i^{\frac{1}{2} } = \frac{\sqrt{2} }{2} +\frac{\sqrt{2} }{2}*i \end{eqnarray*}$

Schreibe $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ in Polarform:

$\begin{eqnarray*} i=e^{i\cdot\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow i^{\frac{1}{2}}=\left(e^{i\cdot\frac{\pi}{4}}\right)^{\frac{1}{2}}=\pm e^{i\cdot\frac{\pi}{4}} \end{eqnarray*}$

Euler-Formel:

$\begin{eqnarray*} \pm e^{i\cdot\frac{\pi}{4}}=\pm (\underbrace{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}+i\cdot\underbrace{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}) \end{eqnarray*}$

Ergänzung:

Ich hatte oben in meinen älteren Beiträgen ganz versäumt zu sagen, daß

$\begin{eqnarray*} \sqrt{i}=\pm\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \end{eqnarray*}$ .

Sorry.

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