Vollständige Induktion - Summe ungerade Zahlen = Quadratzahl

27.10.2011, 11:15

PhilippW

Vollständige Induktion - Summe ungerade Zahlen = Quadratzahl

Meine Frage:
Beweisen Sie die folgende Aussage mit Hilfe der vollstaendigen Induktion:
Fuer n ? N ist die Summe der ersten n ungeraden Zahlen eine Quadratzahl

Meine Ideen:
Also ich bin hier nur leicht mit dem Ansatz überfordert, bisher dachte ich mir das in etwa so :

[latex]\sum\limits_{k=1}^n k für k=ungerade = \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n n }

Aber ich gehe stark davon aus,dass das so nicht stimmt. Leider will mir aber auch kein anderer Beginn einfallen. Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar
lg

27.10.2011, 11:16

philippW

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion - Summe ungerade Zahlen = Quadratzahl

Zitat:

Original von PhilippW
Meine Frage:
Beweisen Sie die folgende Aussage mit Hilfe der vollstaendigen Induktion:
Fuer n ? N ist die Summe der ersten n ungeraden Zahlen eine Quadratzahl

Meine Ideen:
Also ich bin hier nur leicht mit dem Ansatz überfordert, bisher dachte ich mir das in etwa so :

Summe ( k=1 bis n ) von k ( k = ungerade ) = ? Wurzel aus der Summe von n ?

Aber ich gehe stark davon aus,dass das so nicht stimmt. Leider will mir aber auch kein anderer Beginn einfallen. Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar
lg

27.10.2011, 11:23

mnt

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion - Summe ungerade Zahlen = Quadratzahl
Hi,

0=0=0^2
1=1=1^2
1+3=4=2^2
1+3+5=9=3^2
1+3+5+7=16=4^2

Fällt dir was auf?
Wie kann man "Fuer n ? N ist die Summe der ersten n ungeraden Zahlen eine Quadratzahl" mit den obigen Gleichungen (zumindest für die ersten 6 n) als mathematische Gleichung hinschreiben.

27.10.2011, 11:46

philippW

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke

Nach einigem hin und her habe ich es glaub ich jetzt :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n ( 2k-1 ) = n^{2} \end{eqnarray*}$

weil die 1te ungerade Zahl = 1 = 2*1-1
die 2te ungerade zahl = 3 = 2*2-1
für die 3te ungerade zahl = 5 = 2*3-1
usw bis zur nten ungeraden zahl = 2*n-1

Und wie du mir so schön zeigen konntest gilt eben n^2 ( für n als die "anzahl" der ungeraden Zahlen in der Summe ) .

Danke smile

27.10.2011, 11:46

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion - Summe ungerade Zahlen = Quadratzahl
Vielleicht darf ich noch ergänzen:

Wie drückt man denn die ungeraden Zahlen aus?

Ansonsten hat ja schon mnt gesagt, daß Du versuchen musst, erstmal eine Gleichung für die Aussage aufzustellen.

27.10.2011, 11:49

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von philippW
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n ( 2k-1 ) = n^{2} \end{eqnarray*}$

Ja, so kannst Du das aufschreiben. Oder eben

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}2k+1=(n+1)^2 \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Vollständige Induktion - Summe ungerade Zahlen = Quadratzahl

Verwandte Themen