Häufungspunkte von Folgen

27.10.2011, 11:56

MatheNoob1234

Häufungspunkte von Folgen

Meine Frage:
Die Folge ist gegeben mit:

$\begin{eqnarray*} v_n=\sum\limits_{k=0}^K z_k10^{-k-1} \end{eqnarray*}$

und:

$\begin{eqnarray*} n=\sum\limits_{k=0}^K z_k10^k \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist, dass jeder Punkt in dem Intervall [0,1] ein Häufungspunkt dieser Folge ist.

Meine Ideen:
Ich könnte mir vorstellen, für eine beliebige Teilfolge die Konvergenz gegen einen Punkt im Intervall [0,1] zu zeigen, woraus ja folgt, dass ein Häufungspunkt der ursprünglichen Folge dort existiert.

Aber wie kann ich das für jeden Punkt im Intervall zeigen?

27.10.2011, 12:05

René Gruber

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Zunächst mal musst du das Konstruktionsprinzip dieser Folge "verstehen":

Es wird einfach die Dezimaldarstellung des Folgenindex in der Reihenfolge umgekehrt und als Nachkommastellen des Folgengliedes genommen, z.B.

$\begin{eqnarray*} v_{386277508} = 0{,}805772683 \end{eqnarray*}$ .

Und wenn du das verstanden hast, dann gelingt es dir auch leicht, zu jeder gegebenen Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus [0,1] auf der Grundlage von deren Dezimaldarstellung dir eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (v_n) \end{eqnarray*}$ zu basteln, die gegen diese gegebene Zahl konvergiert.

Aufpassen muss man lediglich auf den Sonderfall, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine endliche Dezimaldarstellung besitzt, aber auch der lässt sich bewältigen.

P.S.: Ich bin davon ausgegangen, dass du "vergessen" hast zu erwähnen, dass es sich bei den $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ um Dezimalziffern handelt, d.h. $\begin{eqnarray*} z_k\in \{0,1,\ldots,9\} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

27.10.2011, 12:20

MatheNoob1234

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Danke erstmal für die schnell Antwort!!!

Ja, z aus den natürlichen Zahlen incl. 0.

Für eine bestimmte Folge kann ich den Grenzwert ja ganz einfach angeben. Aber gibt es eine schöne (und mathematisch korrekte) schreibweise für alle diese Elemente?
Also so in der Form:

$\begin{eqnarray*} ... \exists ... \forall x\in [0;1]... \end{eqnarray*}$

Also:
Der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} v_{1} = 0,1 \end{eqnarray*}$
.
.
.
Der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} v_{1234} = 0,4321 \end{eqnarray*}$
.
.
.
Der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} v_{176354839} = 0,938453671 \end{eqnarray*}$
.
.
. uws.

Sprich:

Für alle n Element aus [0,1] ist...

So oder so ähnlich ist das, was gefragt ist, nur bin ich nicht so geübt mit diesen allgemeinen mathematischen Ausdrücken...

27.10.2011, 13:42

René Gruber

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Zitat:

Original von MatheNoob1234
Der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} v_{1} = 0,1 \end{eqnarray*}$
.
Der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} v_{1234} = 0,4321 \end{eqnarray*}$
.
Der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} v_{176354839} = 0,938453671 \end{eqnarray*}$

Ich verstehe dich nicht: Du sprichst von "Grenzwerten der Folgen" und zählst dann aber nur Einzelglieder der Folge auf (was ich in einem Beispiel oben auch schon getan hatte)? Du musst dich schon etwas mehr bemühen, dich richtig auszudrücken, denn hier kann ich nicht mal erahnen, worauf du mit der Erwähnung von "Grenzwert" hinauswillst unglücklich

27.10.2011, 15:02

MatheNoob1234

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Oh... genau dass ist ja mein Problem... i verstehe ja selbst nicht, was ich genau meine... smile

Für einen Mathematiker wie dich klingt das natürlich schrecklich, das tut mir auch leid...

Die genaue Aufgabenstellung lautet:

"Zeigen Sie, dass jeder Punkt in [0,1] ein Häufungspunkt dieser Folge ist."

Mit der vorhin beschriebenen Angabe der Folge.

Ich weiß weder was ich machen soll, noch wo ich dabei anfangen soll.
Deshalb frag ich ja auch bei den Profis nach... vlt kann mir das jemand erklären? Gott

28.10.2011, 11:16

René Gruber

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Die Idee an sich liegt doch auf der Hand, auf die müsstest auch du kommen - ich verstehe allenfalls, wenn du "technische Probleme" beim sorgfältigen Aufschrieb hast:

Wenn man eine Teilfolge konstruieren soll, die gegen ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit der Dezimaldarstellung

$\begin{eqnarray*} x = \left[ 0 , z_0 z_1 z_2 \ldots \right] = \sum_{k=0}^{\infty} z_k 10^{-k-1} \end{eqnarray*}$

konvergieren soll, dann nimmt man doch als $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -tes Teilfolgenglied naheliegenderweise das mit dem Wert

$\begin{eqnarray*} x_m = \left[ 0 , z_0 z_1 z_2 \ldots z_m \right] = \sum_{k=0}^m z_k 10^{-k-1} \end{eqnarray*}$ ,

d.h. man nimmt in jedem Schritt eine weitere Dezimalstelle hinzu. Dass dann $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{m\to\infty} x_m = x \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, bedarf wohl keiner weiteren Erläuterung.

Das ganze nützt natürlich nur dann was, wenn $\begin{eqnarray*} x_m \end{eqnarray*}$ als Glied der Folge $\begin{eqnarray*} (v_n) \end{eqnarray*}$ auftaucht, aber das ist bei obiger Folgenkonstruktion ja gesichert, und zwar für den Index $\begin{eqnarray*} n_m = \sum\limits_{k=0}^m z_k 10^k \end{eqnarray*}$ , d.h. es ist ganz einfach $\begin{eqnarray*} x_m = v_{n_m} \end{eqnarray*}$ .

Es gibt allerdings einen kleinen Haken bei dieser Konstruktion: Taucht im Verlauf dieser Teilfolgenkonstruktion als neu hinzugekommene Ziffer $\begin{eqnarray*} z_m=0 \end{eqnarray*}$ auf, so bleibt der Index "stehen", d.h. es ist $\begin{eqnarray*} n_m = n_{m-1} \end{eqnarray*}$ , es geht also nicht wirklich "weiter" in der Teilfolge. Das kann man durch folgende Abänderung der Teilfolgenkonstruktion vermeiden:

$\begin{eqnarray*} x_m = \left[ 0 , z_0 z_1 z_2 \ldots z_{m-1} z_m^* \right] = \sum_{k=0}^{m-1} z_k 10^{-k-1} ~ + ~ z_m^* 10^{-m-1} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} z_m^* := \begin{cases} z_m & \;\mbox{falls}\, z_m\geq 1 \\ 1 & \;\mbox{falls}\,z_m=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

dann ist entsprechend wieder $\begin{eqnarray*} x_m = v_{n_m} \end{eqnarray*}$ , sofern man nunmehr $\begin{eqnarray*} n_m = \sum\limits_{k=0}^{m-1} z_k 10^k ~+~ z_m^*10^m \end{eqnarray*}$ festlegt. Die Konvergenz $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{m\to\infty} v_{n_m} = \lim\limits_{m\to\infty} x_m = x \end{eqnarray*}$ ist von dieser Abänderung nicht beeinträchtigt. Augenzwinkern

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