Konvergenz von Distributionen

04.01.2007, 16:06	jentowncity	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Distributionen Hallo an alle! Habe Probleme bei dieser Aufgabe: Die Folge $\begin{eqnarray} f_{k}:\mathbb R~ -> \mathbb R \end{eqnarray}$ sei durch: a) $\begin{eqnarray} f_{k}(x):=\frac{k}{\sqrt{\pi}}e^{-k^{2}x^{2}} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} f_{k}(x):=ke^{-k\|x\|}cos(kx) \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} f_{k}(x):=k(1-k\|x\|) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|x\| \leq \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ _________ $\begin{eqnarray} :=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|x\| > \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ definiert. Zeigen Sie, dass die Folge der regulären Distributionen $\begin{eqnarray} (T_{f_{k}})_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} D'(\mathbb R^{n}) \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \delta_{0} \end{eqnarray}$ konvergiert. Dabei ist mit $\begin{eqnarray} D'(\mathbb R^{n}) \end{eqnarray}$ der Vektorraum, den die Menge aller Distributionen im $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ bildet bezeichnet und mit $\begin{eqnarray} \delta_{0} \end{eqnarray}$ die Delta-Distribution. Ich weiß leider nicht, wie ich hier anfangen soll, vielleicht kann mir jemand ein paar Tipps geben, wie man hier vorgehen muss, um diese Aufgaben zu lösen?
04.01.2007, 16:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du auch sagen, was $\begin{eqnarray} T_{f_k} \end{eqnarray}$ sein soll? Im Fall $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ hätte ich einfach vermutet, dass es die zur Funktion $\begin{eqnarray} f_k:\;\mathbb{R}\to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gehörende reguläre Distribution ist, aber im Fall $\begin{eqnarray} n>1 \end{eqnarray}$ klappt diese Erklärung ja wohl offensichtlich nicht!
04.01.2007, 16:46	jentowncity	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß es auch nicht, aber ich vermute, dass es die reguläre Distribution der Funktionenfolge ist und man soll wahrscheinlich nur den Fall $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ betrachten.
06.01.2007, 12:56	jentowncity	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir vielleicht jemand erklären was man hier machen muss? Ich komm hier nicht so recht weiter, da ich leider nicht weiß wie diese Aufgabe zu lösen ist... Ich denke, dass dieAufgabe nicht allzuschwer sein sollte, da wir noch nicht lange Distributionen haben. Wenn mir jemand das an einer der Teilaufgaben kurz zeigen könnte, wäre ich demjenigen sehr dankbar MfG jentowncity

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