Konvexe Mengen |
27.10.2011, 17:55 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Konvexe Mengen Hallo ! Beweisen Sie: (a) Die Projektion einer konvexen Menge auf einen affinen Teilraum ist wieder eine konvexe Menge. (b) Die konvexe Hülle einer Menge M ist die Menge aller Konvexkombinationen von Punkten aus M. Danke für eure Hilfe Meine Ideen: zu (a) Ich weiß nicht genau wie ich mir nun diese Projektion vorstellen soll. Mein Ansatz wäre, dass es eine Abbildung auf einen Untervektorraum der Menge gibt wobei Dann wäre und somit und daher ist U konvex. zu (b) Da tappe ich noch im dunklen. |
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29.10.2011, 12:40 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Niemand einen Vorschlag ? Ich vermute mal, dass mein Ansatz falsch ist, also keine falsche Bescheidenheit . |
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29.10.2011, 13:51 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvexe Mengen
Hallo, daran hakt es, wie habt ihr denn so eine Projektion definiert erstmal? Das muss hier der Ausgangspunkt sein. Abakus |
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29.10.2011, 20:12 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Projektion wir in "unserem" Skript (Einf. in die Optimierung) nicht erwähnt oder definiert. Ich nehme mal an, dass das für jede beliebige Projektion gilt. |
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30.10.2011, 09:16 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, dann müsstest du in LA nachschauen... Hier ist wohl eine Abbildung mit mit linear und gemeint. Das P projeziert auf den Unter-VR, das w ist der Verschiebungsvektor des Unter-VR zum affinen Raum. Ggf. gibt es hier noch andere Darstellungen. Jetzt müsste die Sache mit den Konvexkombinationen nachrechenbar sein oder braucht es noch weitere Voraussetzungen? Abakus |
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30.10.2011, 12:52 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok. Das heisst doch aber, dass ich lediglich die Konvexität der Funktion f zeigen müsste oder ? Z.z. : Was hier bedeutet : q.e.d. Richtig ? oder muss ich Konvexkombinationen betrachten ? |
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30.10.2011, 13:18 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ist jetzt der Zusammenhang zur Konvexität der Menge, wenn f konvex ist? (es gibt ohne Zweifel einen, aber hier sehe ich den nicht) Ich denke, du musst die Konvexität der Bildmenge zeigen, dazu betrachte Konvexkombinationen dort. Abakus |
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30.10.2011, 13:45 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK D.h. da das Bild ein Untervektorraum ist gelten die Untervektorraumaxiome U1-U3. Sei Dann gilt wegen U1-U3 oder So stimmt das jetzt ? Eigentlich folgt das doch hier unmittelbar aus den Untervektorraumaxiomen oder nicht ? Ansonsten kann man ja wegen der Linearität von P einfach zeigen, dass das Bild dann auch konvex ist. |
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30.10.2011, 18:54 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
I.A. ist das nicht der Fall, sonst wären ja konvexe Menge und UVR synonym. Abakus |
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