Konvexe Mengen

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MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »
Konvexe Mengen
Meine Frage:
Hallo !

Beweisen Sie:

(a) Die Projektion einer konvexen Menge auf einen affinen Teilraum ist wieder eine konvexe Menge.

(b) Die konvexe Hülle einer Menge M ist die Menge aller Konvexkombinationen von Punkten aus M.

Danke für eure Hilfe

Meine Ideen:
zu (a)

Ich weiß nicht genau wie ich mir nun diese Projektion vorstellen soll.
Mein Ansatz wäre, dass es eine Abbildung auf einen Untervektorraum der Menge gibt wobei



Dann wäre
und somit



und daher ist U konvex.

zu (b)
Da tappe ich noch im dunklen.
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Niemand einen Vorschlag ?

Ich vermute mal, dass mein Ansatz falsch ist, also keine falsche Bescheidenheit Augenzwinkern .
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvexe Mengen
Zitat:
Original von MatheMathosi
Ich weiß nicht genau wie ich mir nun diese Projektion vorstellen soll.


Hallo,

daran hakt es, wie habt ihr denn so eine Projektion definiert erstmal? Das muss hier der Ausgangspunkt sein.

Abakus smile
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Projektion wir in "unserem" Skript (Einf. in die Optimierung) nicht erwähnt oder definiert.
Ich nehme mal an, dass das für jede beliebige Projektion gilt.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, dann müsstest du in LA nachschauen...

Hier ist wohl eine Abbildung mit mit linear und gemeint. Das P projeziert auf den Unter-VR, das w ist der Verschiebungsvektor des Unter-VR zum affinen Raum. Ggf. gibt es hier noch andere Darstellungen.

Jetzt müsste die Sache mit den Konvexkombinationen nachrechenbar sein oder braucht es noch weitere Voraussetzungen?

Abakus smile
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

Das heisst doch aber, dass ich lediglich die Konvexität der Funktion f zeigen müsste oder ?

Z.z. :

Was hier bedeutet :






q.e.d.

Richtig ? oder muss ich Konvexkombinationen betrachten ?
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMathosi
Das heisst doch aber, dass ich lediglich die Konvexität der Funktion f zeigen müsste oder ?

...

oder muss ich Konvexkombinationen betrachten ?


Was ist jetzt der Zusammenhang zur Konvexität der Menge, wenn f konvex ist? (es gibt ohne Zweifel einen, aber hier sehe ich den nicht) Ich denke, du musst die Konvexität der Bildmenge zeigen, dazu betrachte Konvexkombinationen dort.

Abakus smile
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

OK verwirrt

D.h. da das Bild ein Untervektorraum ist gelten die Untervektorraumaxiome U1-U3.

Sei

Dann gilt wegen U1-U3



oder



So stimmt das jetzt ? smile Eigentlich folgt das doch hier unmittelbar aus den Untervektorraumaxiomen oder nicht ? Ansonsten kann man ja wegen der Linearität von P einfach zeigen, dass das Bild dann auch konvex ist.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMathosi
D.h. da das Bild ein Untervektorraum ist gelten die Untervektorraumaxiome U1-U3.


I.A. ist das nicht der Fall, sonst wären ja konvexe Menge und UVR synonym.

Abakus smile
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