2 Ungleichungen Ana I

27.10.2011, 20:00	-aaa-	Auf diesen Beitrag antworten »
2 Ungleichungen Ana I $\begin{eqnarray} Seien\quad a,b,c,d \in \mathbb R \\ ab+bc+ac\leq a^2 + b^2 + c^2 \end{eqnarray}$ Hier habe ich wirklich fast keine Ideen wie ich das Beweisen könnte. Habe schon an Fallunterscheidungen gedacht im Sinne von: 1. Fall $\begin{eqnarray} a=b=c \end{eqnarray}$ Beweis klar. 2. Fall $\begin{eqnarray} a=b>c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^2+2ac\leq 2a^2 + c^2 \end{eqnarray}$ Weiter weiss ich hier auch schon nicht, außer dass: $\begin{eqnarray} 2ac< 2a^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^2>c^2 \end{eqnarray}$ Usw. für die anderen Fälle $\begin{eqnarray} (a=b<c\quad;\quad a<b<c) \end{eqnarray}$ - da habe ich allerdings auch nicht mehr. Ist das überhaupt der richtige Weg? Und zur 2. Ungleichung habe ich wirklich absolut keine Idee: $\begin{eqnarray} a,b,c,d>0\\ \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d} \end{eqnarray}$ Aber ich denke das sollte _eigentlich_ auch recht leicht zu lösen sein, falls mir da also jemand einen Denkanstoß geben könnte wäre mir wohl schon sehr geholfen.
27.10.2011, 20:03	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 2 Ungleichungen Ana I hallo! bei der 1.: ich sag nur: binomische formel zur 2. versuche am einfachsten von der zu zeigende aussage äquivalent auf die annahme zu schließen. lg
27.10.2011, 20:52	-aaa-	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay danke, bei der 1. habe ich da allerdings immer noch ein Problem für den Fall: $\begin{eqnarray} a\neq b \neq c \end{eqnarray}$ Hier komme ich garnicht weiter, habe schon daran gedacht: $\begin{eqnarray} b=xa\\ c=ya \end{eqnarray}$ Jedoch hat mich das in keinster Weise weitergebracht. Der Fall $\begin{eqnarray} a=b \neq c \end{eqnarray}$ lies sich ja direkt leicht über Binomi lösen, wundert mich dass ich das garnicht gesehen habe.
27.10.2011, 21:03	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
du brauchst keine fallunterscheidung, einfach ein bisschen umstellen: $\begin{eqnarray} ab+bc+ac\leq a^2 + b^2 + c^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \leq \frac{1}{2}a^2-ab+\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}b^2 -bc +\frac{1}{2}c^2 +\frac{1}{2}c^2 -ac +\frac{1}{2}a^2 = ... \end{eqnarray}$

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