Rotationsparaboloid parametrisieren

27.10.2011, 20:18	Mickey Blue	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationsparaboloid parametrisieren f(x) = x^2 im Bereich 0 kleinergleich x kleinergleich 1 um y-achse rotieren. Fläche A entsteht. Jetzt soll ich die Parametrisiereung für r= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a \\ Phi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für A finden. Zunächst ist mir nicht klar, wie ich etwas dreidimensionales in zwei dimensionen definieren kann. Denn der Rotationskörper ist ja wohl eindeutig in x y und nach rotation auch z richtung definiert und dann hab ich überhaupt keinen plan, wie ich eine parametriesierung machen soll?
27.10.2011, 22:18	Mickey Blue	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotationsparaboloid parametrisieren Nicht gleich alle . . . -.-
28.10.2011, 14:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, der Mantel des Paraboloids ist eine zweidimensionale Fläche im dreidimensionalen Raum und kann mit Hilfe von zwei Parametern $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ beschrieben werden. Wähle zunächst eine konkrete Höhe $\begin{eqnarray} z=v \end{eqnarray}$ über der $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ -Ebene, $\begin{eqnarray} 0 \leq v \leq 1 \end{eqnarray}$ . Ein Schnitt auf dieser Höhe parallel zur $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ -Ebene schneidet aus dem Paraboloid einen Kreis aus. Wie groß ist in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ der Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ dieses Kreises? Bei den Punkten $\begin{eqnarray} (x,y,z) \end{eqnarray}$ dieses Kreises ist nun $\begin{eqnarray} z=v \end{eqnarray}$ , denn sie haben alle dieselbe Höhe $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ über der $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ -Ebene. Und mit Hilfe des oben bestimmten Radius kannst du auch $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ angeben. Dabei ist $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ ein Parameter, mit dem man einen ebenen Kreis beschreibt. Da gibt es geläufige Parametrisierungen. Die solltest du kennen.

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