Beweis Abbildungen, injektivität, surjektivität, Identitätsabbildung |
| 27.10.2011, 20:55 | DudiPupan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Beweis Abbildungen, injektivität, surjektivität, Identitätsabbildung Guten Abend, ich arbeite gerade an meinem ersten Übungsblatt für die Analysis I und hänge bei der letzten Aufgabe, die wie folgt lautet: Seien A und B nichtleere Mengen, sowie f: A->B und G: B->A Abbildungen mit g*f=id(A). Zeigen Sie, dass f injektiv und g surjektiv sind, wobei wir mit id(A) die Identitätsabbildung auf A bezeichnen. Meine Ideen: Also mir fehlt letztendlich der Ansatz. Die Identitätsabbildung id(A) müsste ja bijektiv sein. Ist eine Abbildung injektiv, so gilt: f(a)=f(b)=>a=b Ist eine Abbildung surjektiv so gilt: für jedes b in B existiert ein a in A mit f(a)=b aber wie wende ich dieses Wissen jetzt auf den Beweis an? |
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| 27.10.2011, 22:50 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Beweis Abbildungen, injektivität, surjektivität, Identitätsabbildung
Allerdings. Und wenn die Komposition g°f bijektiv ist, ist sie insbesondere injektiv. Das kannst du benutzen. Nimm nun einmal an, f wäre nicht injektiv. Das kannst du sofort zu einem Widerspruch führen. Surjektivität von g ist noch einfacher. Es ist ja g(f(a))=a für alle a aus A. Zeige nun für ein beliebiges a aus A, dass es ein b aus B gibt, so dass g(b)=a ist. Jetzt habe ich eigentlich schon 99% hingeschrieben. Denn wie kann man b natürlich wählen? |
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| 28.10.2011, 04:42 | DudiPupan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ungefähr? g*f=g(f(a)) da bijektiv, gilt: g(f(a))=g(f(b))=>f(a)=f(b) wäre f NICHT bijektiv würde gelten: f(a) f(b) => Widerspruch! => f ist injektiv! da g*f bijektiv, gilt g(f(a))=a und f(a)=f(b) und f(a)=b. Deshalb: g(f(a))=g(f(b))=g(a)=g(b)=a=b => g ist surjekitv! Stimmt das so ungefähr? |
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| 28.10.2011, 14:25 | KA123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du solltest vor allem an deiner Formulierung arbeiten, d.h. präzise aufschreiben was deine Annahmen bzw Voraussetzungen sind und dann Schritt für Schritt daraus Folgerungen machen. Z.B. so: z.z.: f injektiv Angenommen f ist nicht injetiv. Dann existieren mit , aber g ist aber eine Abbildung, deshalb gilt a=g(f(a))=g(f(b))=b (wegen f(a)=f(b)). Widerspruch! Also ist f injektiv. z.z.: g surjektiv Es gilt (g°f)(A)=A, da , insbesondere also im(g)=A, also ist g surjetiv (im(g) ist der Bildbereich von g, wenn dieser ganz A ist hat offensichtlich jedes Element in A ein Urbild in ) |
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