Beweisen mit Konvergenz Divergenz Definition

27.10.2011, 19:36

DGelie

Beweisen mit Konvergenz Divergenz Definition

Meine Frage:
Schönen Guten Tag,
ich habe folgendes Problem:

Der "bestimmte Ausdruck"

" a · "Unendlich" = "Unendlich" " , (falls a element aus den reellen Zahlen (R)) mit a> 0, symbolisiert den folgenden mathematischen
Satz:
(an) konvergiere gegen den Grenzwert a (element aus R) mit a > 0 und (bn) divergiere bestimmt gegen "Unendlich".
Dann ist auch die Folge (anbn) bestimmt divergent gegen "unendlich".
Beweisen Sie diesen Satz mit der Definition der Konvergenz und der Definition der bestimmten Divergenz!

Meine Ideen:
Ich kann für mich leider überhaupt keinen erdenklich sinnvollen Ansatz finden und hoffe, dass man mir hier auf die Sprünge helfen kann.

mfg DGelie

Ps. Tut mir Leid, dass ich Unendlich immer augeschrieben hab, hatte Probleme mit dem Zeichen...

27.10.2011, 20:25

mnt

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweisen mit Konvergenz Divergenz Definition
Und sowas macht man heute in der Schule?? Nun gut!

Idee: $\begin{eqnarray*} a_n -> a \end{eqnarray*}$ . Such dir eine Umgebung von a. Wenn N groß genug ist, dann ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ in der Umgebung für alle n>=N. Also kannst du diese $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nach unten abschätzen.

Da das Schulmathematik ist, solltest du evtl. noch die dir bekannte Definition(en) nennen.

31.10.2011, 07:31

DGelie

Auf diesen Beitrag antworten »

def. Konvergenz lim (an) n-> "unendlich" : konvergiert -> a, falls zu jedem µ>0 existiert ein N el ℕ, sodass |an−a|<µ für alle n≥N

aber mit deinem ansatz versuch ich doch nur zu zeigen, dasss die teilfolge (an) konvergiert ... oder kann ich einfach zeigen, dass a(n) konvergiert danach die teilfolge (bn) zeigen, dass diese bestimmt divergiert nämlich gegen "+unendlich" und danach daraus schließen, dass das produkt aus (an*bn) auch bestimmt divergieren muss ?

31.10.2011, 18:23

mnt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

teilfolge (an) konvergiert

Eine Teilfolge ist eine Folge - hat also unendlich viele Glieder.

n>=N: Man betrachtet nur die ersten (N-1) Glieder nicht. Und die sind für die Konvergenz sowieso egal.

Zitat:

dass a(n) konvergiert danach die teilfolge (bn) zeigen, dass diese bestimmt divergiert nämlich gegen "+unendlich" und danach daraus schließen, dass das produkt aus (an*bn) auch bestimmt divergieren muss ?

Die Behauptung ist falsch. an=n und bn=1/n, dann ist (an*bn)=1 und insbesondere konvergent.

Wie ist überhaupt Divergenz definiert? Also das Gegenteil von:

Zitat:

jedem µ>0 existiert ein N el ℕ, sodass |an−a|<µ für alle n≥N

31.10.2011, 18:45

DGelie

Auf diesen Beitrag antworten »

Def. der Konvergenz
Eine Zahlenfolge (an) konvergiert gegen den Grenzwert a $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , falls
$\begin{eqnarray*} \forall \gamma (Umgebung) > 0 \exists N \forall n > N gilt | a_{n} - a | < \gamma \end{eqnarray*}$

Def der bestimmten Divergenz
Divergente reelle Zahlenfolgen heissen bestimmt divergent, gdw.
$\begin{eqnarray*} \forall k > 0 \exists N ( = N ( k ) ) \forall n gilt a_{n} > k bzw. a_{n} <- - k \end{eqnarray*}$

31.10.2011, 18:50

mnt

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber du sollst doch die Divergenz zeigen.
Wie lautet also die Def. davon?

31.10.2011, 18:53

DGelie

Auf diesen Beitrag antworten »

Def der bestimmten Divergenz
Divergente reelle Zahlenfolgen heissen bestimmt divergent, gdw.
$\begin{eqnarray*} \forall k > 0 \exists N ( = N ( k ) ) \forall n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a_{n} > k \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n} <- - k \end{eqnarray*}$

sry ich krieg das irgendwie nicht schöner hin mit dem latex unglücklich

31.10.2011, 19:06

mnt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DGelie
Def der bestimmten Divergenz
Divergente reelle Zahlenfolgen heissen bestimmt divergent, gdw.
$\begin{eqnarray*} \forall k > 0 \exists N ( = N ( k ) ) \forall n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a_{n} > k \end{eqnarray*}$ ODER $\begin{eqnarray*} a_{n} <- - k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n} <- - k \end{eqnarray*}$ Den Teil brauchen wir ja nicht, da unsere Folge gegen +unendlich gehen soll.

Sei nun x_n deine divergente Folge, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall k > 0 \exists N ( = N ( k ) ) \forall n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a_{n} > k \end{eqnarray*}$

Was gilt nun für die Folge $\begin{eqnarray*} a*x_n \end{eqnarray*}$ ?

31.10.2011, 19:21

DGelie

Auf diesen Beitrag antworten »

solange $\begin{eqnarray*} a > 0 a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sollte die folge immer noch monoton wachsend gegen +unendlich divergieren

31.10.2011, 19:29

mnt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DGelie
solange $\begin{eqnarray*} a > 0 a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sollte die folge immer noch monoton wachsend gegen +unendlich divergieren

Aber das sollst du ja gerade zeigen. Big Laugh

Du weißt: $\begin{eqnarray*} \forall k > 0 \exists N ( = N ( k ) ) \forall n \ge N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x_{n} > k \end{eqnarray*}$
und musst $\begin{eqnarray*} \forall k' > 0 \exists N' ( = N' ( k' ) ) \forall n' \ge N' \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a* x_{n} > k' \end{eqnarray*}$

Man wählt zuerst ein festes k' (das heißt, man lässt k' stehen, stellt sich aber eine feste Zahl darunter vor). Nun musst du N' so wählen, dass a* x_{n} > k' gilt (für alle n>=N').

31.10.2011, 19:46

DGelie

Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich dieses N' denn schon bekommen in dem ich den term a* x_{n} > k' umforme, denn ich für mich sehe ja sofort, da es sich ja um etwas monoton wachsendes handelt das bei einem möglichst kleinen k (bzw. je kleiner desto schneller) ich ab N'<n immer größer sein werde, aber wie kann ich dies denn zeigen, wenn ich mich immer mit variablen rum schlage und nie wirklich was zum anfassen (wenn man das so sagen darf) habe...
oder darf ich einfach zahlen anehmen also nicht nur darunter vorstellen, und damit dann auch zeigen?

31.10.2011, 19:55

mnt

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst das schon zeigen...

Du hast das k' gewählt. Am Ende soll ja a*x_n>k' für alle n>=N' stehen.
Nun ist a*x_n>k' äquivalent zu x_n > k'/a (da a>0).

Nutze jetzt k=k'/a und $\begin{eqnarray*} \forall k > 0 \exists N ( = N ( k ) ) \forall n \ge N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x_{n} > k \end{eqnarray*}$ um N' zu bestimmen.

31.10.2011, 20:17

DGelie

Auf diesen Beitrag antworten »

es tut mir leid steh total auf dem schlauch wieso können wir denn sagen k=k'/a,
nur weil x_n > k'/a

wenn dem aber so ist dann sollte doch $\begin{eqnarray*} n > \frac{k'}{a} \end{eqnarray*}$ automatisch größer k sein smile

also müsste auch da doch irgendwo N' zu finden sein da dieser ja der Index ist ab dem $\begin{eqnarray*} \forall k > 0 \exists N ( = N ( k ) ) \forall n \ge N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x_{n} > k \end{eqnarray*}$

31.10.2011, 20:37

mnt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

nur weil x_n > k'/a

das heißt in TeX $\begin{eqnarray*} x_n > k'/a \end{eqnarray*}$ . Deshalb kannst du so nicht argumentieren

Zitat:

$\begin{eqnarray*} n > \frac{k'}{a} \end{eqnarray*}$

Zitat:

k=k'/a

Du setzt k gleich k'/a.
Es gibt ein N, so dass $\begin{eqnarray*} x_n >= k,\ \forall n\ge N \end{eqnarray*}$ , da (x_n) ja gegen Unendlich geht.

Du bist dran.
Nutze k=k'/a.

Neue Frage »

Antworten »

Beweisen mit Konvergenz Divergenz Definition

Verwandte Themen