Beweis eines Untervektorraums

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IzeCube Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis eines Untervektorraums
Guten Morgen!!

Es geht mal wieder um die Untervektorräume...
Ich soll Untersuchen, ob die Menge U einen Untervektorraum des V_3 bildet.



Wir sollen das jetzt nicht mit einem Zahlenbeispiel machen, sondern richtig beweisen.
Dazu hab ich mehrere Fragen:

1) Was genau mache ich um zu zeigen, dass es hier keine leere Menge gibt?

2) Wenn ich das ganze mit einem Beispiel mache, wenn ich da raus habe, dass es nicht abgeschlossen ist, dann ist ja klar, dass es nicht geht, da es entweder nur immer geht oder nicht immer. Aber was ist wenn ich ein Bsp. hab wo es aufgeht? Das beweist ja noch nicht, dass es immer geht, also da muss ich dann noch normal Beweisen?

3) Wie gehe ich das mit dem Beweis jetzt an? Ich schreib mal auf was ich gemacht hab bisher:



--> Da das ja bedingung war.

dann hab ich noch

Ist aus meinem Ansatz noch irgendwas zu machen? verwirrt
Oder bin ich total auf dem falschen Dampfer? Hammer
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis eines Untervektorraums
Zitat:
Original von IzeCube
1) Was genau mache ich um zu zeigen, dass es hier keine leere Menge gibt?


Wenn du ein Element gefunden hast, das darin liegt kann die Menge nicht leer sein.
Ich würde damit starten, zu zeigen, dass liegt, dann hat man ein Element gefunden und der Nullvektor liegt auch drin.


Zitat:

2) Wenn ich das ganze mit einem Beispiel mache, wenn ich da raus habe, dass es nicht abgeschlossen ist, dann ist ja klar, dass es nicht geht, da es entweder nur immer geht oder nicht immer. Aber was ist wenn ich ein Bsp. hab wo es aufgeht? Das beweist ja noch nicht, dass es immer geht, also da muss ich dann noch normal Beweisen?


Wenn du zwei Elemente x,y aus U gefunden hast, so dass x+y nicht in U liegt, dann ist das U nicht abgeschlossen gegen Addition und damit kein UVR. Ein Beispiel um zu zeigen, dass U abgeschlossen ist reicht jedoch nicht aus.

Dann liegen in der Menge die Vektoren, die die beiden Bedingungen erfüllen, man kann die Vektoren der Menge also darstellen als .

Und nun die drei Bedingungen prüfen:





.
IzeCube Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Wenn du ein Element gefunden hast, das darin liegt kann die Menge nicht leer sein.
Ich würde damit starten, zu zeigen, dass liegt, dann hat man ein Element gefunden und der Nullvektor liegt auch drin.


Also muss ich das mit dem nicht leere Menge eigentlich gar nicht so sehr beachten, weil es vermutlich immer zutrifft?
Weil im Unterricht haben wir das jetzt auch noch nie bei ner Besprechung einer Aufgabe erwähnt.


Zitat:
Original von Igrizu
Wenn du zwei Elemente x,y aus U gefunden hast, so dass x+y nicht in U liegt, dann ist das U nicht abgeschlossen gegen Addition und damit kein UVR. Ein Beispiel um zu zeigen, dass U abgeschlossen ist reicht jedoch nicht aus.


Warum reicht das nicht aus?
Ich hab das so verstanden, dass das ganze entweder für alle Beispiele gilt oder eben nur für manche. Und wenn es nur für manche gilt, dann ist es ja eben nicht abgeschlossen, also reicht theoretisch ein einziges Beispiel aus um zu zeigen, dass es nicht immer abgeschlossen ist.
Oder meinst du, dass Beispiele generell nicht ausreichen und ich immer mit nem Beweis arbeiten muss?

Zitat:
Orihinal von Igrizu
Dann liegen in der Menge die Vektoren, die die beiden Bedingungen erfüllen, man kann die Vektoren der Menge also darstellen als .


So haben wir das eben als zweite Möglichkeit auch besprochen, aber ich hab das immer noch nicht so genau verstanden.
Irgendwie hatten wir dabei irgendwas umgeformt (also von den x bzw. y Werten) so dass wir halt eine Unbekannte weniger hatten.
Ich konnte mir das leider nicht mehr aufschreiben, kann mir den Ansatz jemand erklären? verwirrt

Unsere 1. Möglichkeit sah so aus:

Fall 1:





??

=0 +

Da nicht beides = 0 ist, ist das ganze nicht abgeschlossen.
Warum ist das letzte nicht = 0? Es könnte doch sein, dass und entsprechend definiert sind?? verwirrt
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich habe übersehen, dass das V wohl ein oder sein soll, also dass es ausreciht, dass eine der Bedingungen erfüllt ist.

Zunächst einmal liegen mit Sicherheit die Vektoren (5,2,-14) und (10,4,-28), Sicherlich liegt auch die Summe der beiden Vektoren in der Menge, deshalb kann man aber noch lange nicht darauf schließen, dass die Menge abgeschlossen ist gegen Addition.

Denn es liegen auch die Vektoren (5,2,0) und (0,1,-7) in der Menge, aber deren Summe (5,3,-7) nicht.

Also ein Beispiel reicht nicht aus, die Abgeschlossenheit zu zeigen, aber ein Beispiel reicht aus um zu zeigen, dass die Menge nicht abgeschlossen ist.

Ihr habt nun beliebige Vektoren betrachtet, die jeweils eine der Bedingungen erfüllen und die andere nicht.
IzeCube Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Also ein Beispiel reicht nicht aus, die Abgeschlossenheit zu zeigen, aber ein Beispiel reicht aus um zu zeigen, dass die Menge nicht abgeschlossen ist.


Hä? Genau das hab ich doch gesagt! Hab aber auch noch mal nen anderen Lehrer an der Schule gefragt und der hatte mir schon bestätigt, dass das ausreicht smile

Aber weitergeholfen hat mir jetzt immer noch niemand...
Ich möchte wissen, warum gesagt wird, dass nicht 0 ist. Also warum das einfach so gesagt wird?
Man könnte doch schließlich und so definieren, dass es funktioniert?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, du hast zwei Vektoren, die in der Menge liegen, jeder von ihnen muss mindestens eine der beiden Bedingungen erfüllen.

Wir nehmen den Vektor , der die Bedingung erfüllt, aber die Bedingung nicht erfüllt.

Dann nehmen wir den Vektor , dieser soll die Bedingung erfüllen, aber die Bedingung nicht erfüllen.

Es ist also









DAnn bildet man die Summe der beiden Vektoren und schaut, welche Bedingungen erfüllt sind und welche nicht.
 
 
IzeCube Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, das klingt irgendwie logisch!
Und damit ist bewiesen, dass es nicht abgeschlossen ist, weil es ja für alle Fälle gelten muss?

Also es ist egal, dass es für den Fall, dass Vektor a & Vektor b beide Bedingungen erfüllen das ganze abgeschlossen ist, weil entweder ist etwas immer abgeschlossen, oder eben nicht immer abgeschlossen, richtig?

Aber heißt das nicht eigentlich, dass bei sowas wo also eine oder Bedingung drin ist immer rauskommt, dass es nicht abgeschlossen ist? Weil wenn man einfach sagt, dass die Vektoren immer nur eine Bedingung erfüllen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt auch die Möglichkeit, dass das ganze abgeschlossen sein könnte.

Entweder die Menge ist abgeschlossen gegen Addition, oder nicht. Wenn man nur eine Ausnahme findet ist die ganze Menge nicht mehr abgeschlossen, egal, ob es unendlich viele Fälle gibt, für die die Summe wieder in der Menge liegt.
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